PROBLÈMES SUR LES ISOPÉRIMÈTRES
799. Etajit donnés deux points C et D sur un plan, Fig. i4o. trou^^er parmi toutes les cour-
y jvj,,Jf— ^ ^^^ ^^ même longueur, situées
dans ce plan^, et terminées aux points C et D, celle pour laquelle Vaire ABDG est un maximum.
On doit avoir
A r ji
sjfïx'
-h dj- z= l
et il faut chercher le maximum de l'intégrale / ydx.
D'après la théorie précédente, on devra chercher le maximum absolu de l'intégrale / [jdx -h a ^dx'- -h dj^-^), ce qui conduit à poser
( I ) ^ I iy <f'^' + « sicir- -f- dy- ) =: o .
Comme les limites x^ et x^ sont fixes, la partie de la variation désignée par F est identiquement nulle. On peut, en outre, ne faire varier que x. On a ainsi "
ou, en intégrant par parties, et négligeant la quantité placée en dehors du signe 1 , qui est nulle,
et, en égalant à o le coefiScient de àx^ d'où
dx ,
Remplaçons ds par s^dx'^ -+- dj^ ^ et résolvons par rapport à dx. Il viendra
d'où
X — 0=1 sja^ — ( j — c'y y
et
(4) {x — cY-\-{y — c'Y=za\
Ainsi, la courbe cherchée est un arc de cercle.
800. Problème. De toutes les courbes isopérimètres que Von peut tracer sur un plan entre deux points donnés A et B, trouver celle qui, en tournant autour de la droite Ox, engendre la plus grande, ou la plus petite surface de réi^olution.
Il faut chercher le maximum, ou le minimum, relatif
de l'intégrale / jds^ avec la condition
ds z= l.
La question se ramène (798) à la recherche du maximum , ou du minimum , absolu de
(j -\--a)ds.
et comme a est une constante, on obtiendra le même résultat qu'en cherchant le minimum absolu de lyds^ problème déjà traité (790), et qui donne la chaînette.
801. Problème. De toutes les courbes isopérimètres , tromper celle qui engendre le volume de révolution minimum.
L'équation du problème est , dans ce cas ,
[y^dx -h ads) = o;
comme les deux points A et B sont donnés, on peut ne faire varier que x et faire abstraction de la partie F, qui est identiquement nulle, puisqu'il n'y a pas de dérivée d'un ordre supérieur au premier. D'après cela on aura
d'où
ds
On déduit de là, en remplaçant ds par sjdx^ -f- dy^,
ix'-c)f/f
équation différentielle de la courbe élastique (572).
802. Problème. Déterminer la courbe qui, par sa révolution autour d^in axe (l'axe des x) engendre la surface minimum qui renferme un volume donné.
Ce volume étant TT j j^dx, et l'aire ^n fjds^ il faut
poser (798)
(l) 0 / f-dx -f- iajdsz=z Oj
a étant une constante.
En considérant comme fixes les deux extrémités de la courbe, on peut ne faire varier que :c, et comme la formule
ds"^ =: dx^ 4- djdonne
§ds= —dSx, ds
y"^ -\- 2.ay -—] d8x =: o.
En intégrant par parties, et faisant àx = o aux deux
limites, on a
dx\
xd\y'^-]-iay-—- | = 0;
d'où l'on conclut
dx ^
Chacune des constantes a et C pouvant être positive ou négative, on peut écrire
-^ ^ ds
COURS D
'analyse.
et de
là
re'sulte
Tr'
sjla-^f
C'est Fe'quation diflérentielle de la courbe clierclie'ej le radical doit être tantôt positif, tantôt négatif 5 il change de signe quand y devient un maximum ou un minimum.
Si la constante h est nulle, on a un cercle ou l'axe des x.
Si h n'est pas nulle, l'équation différentielle (2) appartient à la courbe décrite par l'un des foyers d'une ellipse ou d'une hyperbole qui roule sans glisser sur l'axe des x, comme l'a démontré M. Delaunay, dans le Journal do Mathématiques de M. Liouville {^).
EXERCICES
i . Déterminer, parmi toutes les lignes cViine longueur donnée, et terminées à deux points fixes k, B, celle pour laquelle la somme des produits de chaque élément ds par le carré de sa distance à la droite AB est un maximum.
Solution : On prend AB pour axe des x. La question se ramène à l'intégration de l'équation
2. La ligne minimum sur une surface développable se trouve par des quadratures.
(*) Yoir t. VI, p. 309, et une Note de M. Sturm, p. 3i5.
