I . 2 (IX

Cette équation, par une transformation pareille à la précédente, pourra être abaissée à l'ordre m — 2, et par une suite d'opérations semblables on arrivera à une équation d'ordre m —p.

Nous avons rappelé ce mode de démonstration, dû à d'Alembert, parce que son application à l'équation X=/(.r) conduit, lorsqu'on connaît les m intégrales particulières c, jr,, ^2^2, • • • > ^,„/,„de X = o, à l'expression de la valeur de y au moyen d'une intégrale multiple, qui peut être remplacée par la somme de m intégrales simples, ne différant les unes des autres que par les indices des lettres ; on trouve pour la valeur de y :

.Xr

/( X ) dx

'r/xVjJ dx ±(rj^

La sommation s'étend aux indices /? = i , 2, 3, . . . , ^7, et le dénominateur sous le signe d'intégration est le produit de m facteurs; chacun de ces facteurs, à partir du premier, est la dérivée, par rapport à x^ d'une fraction dont le dénominateur est le facteur précédent, et le numérateur ce même facteur dans lequel le plus fort indice dejr est augmenté d'une unité. Après la formation complète du dénominateur, on diminuera de m les indices qui dépassent m.

Second théorème. — Reprenons la transformée

/ » -ir /^^ du

qu'on déduit de X = o en posant y = vu. Si j, mis à la place de c rond nulles /5 fonctions, X, 'X,..., (p-')X, l'équation X= o aura/? solutions de la forme jr,, xy^, x^y^, . .. , xP''y^ (nous supprimons les constantes pour plus de simplicité dans l'écriture). En effet, dans notre hypothèse, (2) devient

/„.^ I dPii -„^,,^, I dP+^u d'"u