dxP ^ i.u....p-\-i dxP+' '^ *^' dx

Or, cette équation a pour solutions

u = i=x = x'^... = xP~ ' .

Donc, puisque jK = jr, «, on aura p valeurs de y, savoir : jr,,'^Jp«">

^''"'j,. Nous appellerons les intégrales particulières de cette forme des solutions conjuguées; x)\ est conjuguée de j, et .r"+y, dex"j,.

En second lieu, si X = o a /? solutions conjuguées j\, xy\ , . . . , j:''-'jr,, chaque fonction 'X, "X, '"X, . . . , aura les solutions conjuguées de celle qui la précède dans le développement (2), à l'exception de la solution pour laquelle le facteur x a le plus fort exposant.

Si, en effet, on suppose dans la relation [i)u= x q\, v égal successivement à j,, .r/,,. . . , .r^"^/,, dans toutes ces hypothèses la transformée se réduira à 'X = o, puisque les valeurs de v sont des solutions de X = o. Ainsi 'X = o a pour solutions jj, ^j, , . . . , x^-'^r^. En faisant la transformée de 'X, on trouvera de même que y^, xy^ , . . . , x^-^y^ sont solutions de "X = o, et ainsi de suite.

Ce théorème comprend celui que d'Alembert démontre dans le cas des équations différentielles à coefficients constants, lorsque l'équation algébrique de laquelle dépend la solution a des racines égales (46" Leçon, n°590).

Corollaire. — Si toutes les solutions de 'X = o sont j,, j"/, , . , . , ^""-j,, X = 0 aura les mêmes solutions et, de plus, la solution x^"'/,, car on peut toujours concevoir une équation X^ = o d'ordre m qui ait toutes les solutions ci-dessus; or, en formant la conjuguée de X^ = o, savoir 'X^ = o, cette dernière aura m — i solutions, 7,, xx^,. .. , Jf'-j\ : elle sera donc identique à 'X; donc aussi X„^ sera identique à X.

Troisième théorème. — Si dans la transformée (2) de X — o on fait ^'=y^ et M= e'^^ .,yi étant une solution de X = o, et a une quantité très-petite, cette transformée deviendra

'Xa^«^-f "X — ^=''' +

En changeant a en — a, on aura le résultat de la substitution de y = y^e~^'^. Si, à cause de la petitesse de a, nous négligeons les termes dans lesquels cette quantité est élevée à des puissances supérieures à la première, on voit que j, = i|>, (o?) étant une solution de l'équation X = o, les substitutions

donnent des résultats de signes contraires quel que soit ^; ces deux relations pourraient être représentées par des courbes très-rapprochées comprenant la courbe jr= ^'il*^)*

Mais si /= -i^i^-r) annulait X et un nombre impair de fonctions 'X, "X, . . . , les résultats de la substitution seraient de même signe.

JSOTE III. 347

En second lieu si l'on donne les équations de deux courbes trèsrapprochées, telles, que l'ordonnée de l'une d'elles soit toujours moindre que l'ordonnée de l'aulre, et si la substitution des valeurs de ces ordonnées en fonction de x, dans X ^ o, conduit à des résultats de signes contraires, il existe entre les courbes données une courbe dont l'ordonnée représente une solution de X = 0. En effet, les équations des deux courbes très-rapprochées peuvent être mises sous les formes

ts^[.x) et «p,(j^) étant des fonctions constamment positives; or, la substitution de ces valeurs dans X = o ne pourra fournir des résultats de signes contraires que si le premier terme de la transformée,

savoir Xe^^^^"^^ ou X<?"'^'''*^"^\ est identiquement nul, puisque ce terme est incomparablement plus grand que ceux qui ont a pour

facteur. Donc 7-= c^^"^^ doit être une solution de la proposée.