X„,,. = M^(XJ-|-N{X

K, L, . . . , M sont des fonctions de x déterminées de telle sorte, que les termes de l'ordre le plus élevé soient les mêmes au premier et au second membre; les restes, comme l'indiquent les égalités, s'obtiennent par de simples soustractions. Or, il est évident qu'une solution f^ qui rend identiquement nulles X^„^p et X^ et, par suite, les dérivées de ces fonctions, annule aussi les restes X X«+p-2» • • - ' et réciproquement une valeur de j qui annule un reste et X^ satisfait aussi à la proposée X^^^ = o. Nous avons supposé que notre dernier reste a la forme NX„,,N étant une fonction de x; dans ce cas, toutes les solutions de X^ = o appartiennent à X^ =0, et l'élimination des restes successifs conduit au développement

(4) X„, = ^^(XJ + K,^(XJ+...+M,^(XJ+NX„=o.

348 cour.s d'analyse.

Sous cette forme, et en prenant X^ pour l'inconnue, il suffit pour sa détermination d'intégrer une équation d'ordre /?, et on trouve ainsi

intégrant ensuite X^ = o et faisant usage de la formule (4), on a l'iatégrale complète de X^ ^.^ = o.

Si la dernière égalité du groupe (A) est

on fera