X'^-PX,, + X

en déterminant P de telle sorte, que le terme d'ordre m soit le même au premier et au second membre. Par ce moyen, on posera la suite d'égalités

'x„,, = M^(XJPX„, + X„.„ (B) < X„ = 0;^(X„,) + QX,„,+X,..„

Si l'on parvient à une égalité qui présente au second membre deux fonctions égales X^^, on arrêtera l'opération, et par l'élimination des restes successifs des groupes (A), (B), on développera X^ et X^^^, sous forme d'équations linéaires d'ordre /;/ — /-, m-\-p — k, qui auront X^. pour inconnue. Si la suite d'égalités conduit à un reste y-^i^) qui ne peut être annulé par une valeur dejr exprimée en.r, on conclura que les équations différentielles n'ont pas de solutions communes.

De ce qui précède, il résulte, (\VLilest toujours aisé de ti^ouver la fonction qui, égalée à zéro, donne des solutions communes à des érjuations linéaires, et si cette fonction est d'ordre A', on pourra abaisser de A' unités les or'dres des équations linéaires.