COMPOSITION DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

On veut former une équation différentielle qui réunisse les solutions de deux équations données X,„ = o, X^ = o. Désignons par X„,^p le premier membre inconnu de l'équation cherchée, nous pourrons le développer sous les deux formes

X„„, = £i (XJ+ K 1^ (XJ+. . . + 0(XJ, X„,= i;;(X,) + K'^(X,)+... + S'(X,).

Effectuant les différentiations indiquées aux seconds membres, el identifiant les coefficients des différentielles de même ordre dans les deux développements, on aura m + p relations du premier degré au moyen desquelles on déterminera les coelficients K,..., Q, K',.--, S'. Si les deux fonctions X„„ X^ sont égales, la méthode n'est pas applicable, parce qu'il est contraire au caractère de généralité de l'intégrale complète que deux solutions soient égales; mais pour suivre l'analogie de l'Algèbre et du Calcul intégral, en ce qui concerne les racines égales, on formera des équations de môme ordre qui auront les solutions de X„, = o, multipliées par x ou par ^',

œ^,. ..\ il suffira pour cela de remplacer y par - ? ^^ • ' • • On composera ensuite en une seule toutes ces équations de même ordre, et on aura un résultat analogue à la puissance entière d'un polynôme.

Dans le cas où X„= o a /:> solutions/,, x^,..., j^, de plus 'iq solutions z,, xz,,..., z^^, xz^ et 3r solutions w,, xu^, ^^«j,..., //,., a^M,., :r^M^, de sorte que m — p+iq-\-'ir, l'intégration se ramènera à celle de trois équations d'ordre /?, </, r.

Si d'abord on cherche les solutions communes à X,„ = o et 'X„^= o, on trouve une équation X^^^r = o qui a pour solutions s,, z^,. . ., Zç, w,, xa^^. . ., u^^ xii^.. Les solutions communes à 'X„, = o et "X^= o, savoir : u^^ «2;* • •» "r> sont fournies par une équation X^ = o ; celle-ci permettra de former Xj,. dont les solutions seront w,, XM,,..., w^, xu^.. Cherchant ensuite les solutions communes à Xç^j^ = o et X.,^ = o, on parvient à X^ = o qni a pour solutions z„ Z2, . . . , z^. Il est facile de former sans intégration la fonction ^iq+zr = ^ satisfaite par toutes les solutions conjugées doubles ou triples. Avec cette équation, on abaisse X,„= o ou X^^^v+sr^ ^ à l'ordre p.

Les méthodes précédentes fournissent un moyen aisé de trouver les conditions qui doivent exister entre les coefficients de deux équations différentielles, pour qu'elles aient p solutions communes; il suffit d'appliquer la méthode, et d'exprimer que le reste d'ordre p est identiquement nul.

Enfin, on peut ramener à cette théorie des méthodes connues, celle par exemple que d'Alembert a imaginée pour l'intégration des équations différentielles, et qu'il reproduit dans ses principaux ouvrages, Théorie des vents, Théorie delà Lune, etc.

Prenons pour exemple de cette application l'équation du quatrième ordre

35o COURS d'analyse.

Supposons une fonction

qu'on veut déterminer de sorte que ses trois solutions appartiennent à X^ = G ; nous poserons

De cette dernière on déduit, en identifiant les deux membres, 9 + , = «, ^ + x-5 + e'=^ ^ + ^9. + e.. = c,

dO" , ,, (h ^ r, ,

Avec ces relations, auxquelles d'Alembert parvient, on élimine /-, G', 0", et on arrive à une équation en 9 qu'il faut intégrer pour trouver ensuite les autres coefficients. Cette détermination conduit

à quatre expressions de X3, et comme d'ailleurs y- (X3) + /X3 = o

donne X3 = Ce--^*'^'', en portant dans cette dernière les systèmes

de valeurs de /-, 0, ô', ô" on obtient quatre relations au moyen des-

dy d^y d^Y quelles on trouve la valeur de jr après avoir éliminé -j- j -j^ , -—^ •

Si les coefficients de X^ = o sont constants, ceux de X3 = o le seront aussi, et, dans ce cas, la valeur de 0 dépendra de la résolution de l'équation

(9 — rt)^-4-«(e — rt)2-l-è(Ô — «)--f-c(ô — «)-4-^ = o.

COMPOSITION DE l'ÉQUATION LINÉAIRE AU SlOYEN DE SES SOLUTIONS.

^° La composition de X^ = o, au moyen de ses intégrales particulières, résulte de l'élimination des constantes c,, Cj, . . ., c„^ entre les équations (46^ Leçon, n° 579) :

dx ~ » dx '^^ dx^ • • -H- ^- ^i^ '

\ djf" ~ ^' dx"' "^ ^^ ~d^ "^ ■ • • '' ^'" dx'" '

Or, SI l'on écrit le groupe suivant :

1 =c^j-hc,j, 4-...-^r„^7„,

^ ''dx^ 'dx ^••■^'"' dx

du premier terme -j^^ D au suivant en changeant les signes, m en

on aura, au moyen des m dernières équations, les valeurs de c,, Cj, . . ., c„^ qu'on portera dans la première, et le résultat sera de la forme r^ A = L, A étant le déterminant ou dénominateur relatif aux /// +1 inconnues c^, <?,,.... Si l'on fait c^~—\ et À = o, V= o,..., la relation précédente se réduit à A = o, laquelle ne peut être que l'équation différentielle X„, = o. Or, d'après la formation connue du déterminant A, on peut écrire

D est le dénominateur des m inconnues f,, t'j,..., c^ déterminées au moyen des m premières relations du groupe (E), et si l'on considère les indices de la différentiation comme des accents, on passe dy

m — I et /?z — I en m. Comme D contient les indices m — i qui deviennent m pour la formation de D,, et comme d'ailleurs, en ajoutant un accent ou une unité à chaque facteur de D de même indice, cette fonction s'annule, il est clair que D, est la dérivée complète de D et, par suite, si D est constant, D, = o (observation due à M. Liouville).

En second lieu, si nous mettons la valeur dejr sous la forme

y=c^-b,[x)-\-c,-h^[x)+... + c„^-b^Xx),

on pourra déterminer les constantes en supposant que pour x^^ y^

dr d'^r d'" dy

les coefficients différentiels ■—--, — f ? • • m -^ont des valeurs

^/jc„ dxl dx'l^

assignées; dans cette hypothèse, on trouvera les valeurs des constantes au moyen des m dernières équations du groupe (G), et en désignant le dénominateur commun par D et les numérateurs par

Np N„...,N,„, onaura

Si ^„, jr„ et les dérivées de /„ par rapport à x satisfont à la re-

lation j = i]>,{a7), ces valeurs dans l'expression de / devront

N rendre -r^ égal à l'unité, et N^, N3, . . . , N,^ égaux à zéro. Mais

x^, y^ et les dérivées pourraient satisfaire à une des relations X='^A^)'> J = 't^sI"^))- • -5 et on en déduirait des conséquences semblables. On peut conclure de cela que le numérateur N^, égalée zéro, est une équation linéaire d'ordre m satisfaite par toutes les intégrales particulières de X^ = o à l'exception à.Qx = -h^[x].