DEUXIÈJIE MÉTHODE DE COMPOSITION

5° Analogie d'une équation linéaire avec la puissance d'un binôme.

X^ = 0, X^, = 0 sont des équations différentielles, telles, que toutes les solutions de la seconde satisfont à la première, si l'on pose

et si l'on détermine A, z de telle sorte que les deux termes du plus fort indice, au premier membre et dans la première partie du second, soient identiques, R devra être identiquement nul. Sans cela l'équation linéaire R = o, de l'ordre m — 2, aurait m —i intégrales distinctes, ce qui est impossible.

Composons par ce procédé une éf^uation d'ordre /w, qui réunisse toutes les solutions des équations :

io+'-y^"' i+*-^=''' di+'^=°---

On formera d'abord une équation du second or Jre

d'oiî on déduira

kz = i ou A- = - ;

z sera déterminé par la condition que le second membre soit annulé par les valeurs

On exprimera cette condition en égalant z ( -^ -j- ax\ à une constante, à l'unité par exemple, et on trouvera

^bdx

z=- — Tî k=[a-b)e-^'''\

?fOTE Tir. 353

Remarquons que t est le facteur qui rend le premier membre X^

une différentielle ex terait de la relation

une différentielle exacte. La fonction du troisième ordre X3 résul-

qui devrait être satisfaite ou réduite à zéro par les valeurs

Si les solutions de X^, = o sontjr,, oy,, x^J^^...., ^'"~'jr,, en sup-

dr posant que j, satisfait à ^ — \-af = o, le premier membre X,„ se

développera ainsi qu'il suit :

rf™r ri"-' Y OT(m— l)/, cla\(l'"-'y

3 dn d^a\ d"'-W

dx dx'^ j dx"'~^

Les coefficients numériques de cette expression sont ceux de la puissance m du binôme; les fonctions de« se forment ainsi ; à partir du second terme, on obtient la fonction de a relative à un terme quelconque, en multipliant par a la fonction de a du terme précédent et ajoutant à ce produit la dérivée de cette fonction.

Pour démontrer cette formule, nous la supposerons vraie pour l'ordre w, c'est-à-dire que nous admettrons que le développement précédent égalé à zéro est une équation dont les solutions sont j,, x/,,- x^/,,. . ., .z-™~*jj. Écrivons, d'après la même loi, le développement pour l'ordre m-\-i que nous représenterons par X,^^, ; or, on verra tout de suite que la conjugée première de cette fonction sera 'X^^, = (/n + 1) X,„; par conséquent X'^^j= o aura les mômes solutions queX^= o, et cela prouvera que X,„^, aura aussi les mêmes solutions, et de plus la solution x'"/,.

Celte seconde méthode de composition a l'avantage de s'appliquer à des équations non linéaires, et de conduire sans aucune difficulté à la théorie des solutions singulières , et à la démonstration de diverses questions de calcul intégral traitées par Jacobi. Les exemples suivants en montreront l'usage.

Considérons une équation linéaire ou non linéaire d'ordre w, X^= o, et supposons que X,„, = o soit une équation d'ordre w — 1 , telle, que toute valeur de jr en fonction de x qui satisfait à la der- Sturm.- y/«., II. 23

nière satisfait aussi à la première : nous pourrons poser l'identité

dans laquelle M est déterminé de telle sorte que les termes d'ordre m soient identiques, au premier et au second membre. La furme de l'identité résulte de ce que les fonctions qui annulent X,„ et X„., doivent aussi annuler le reste ; nous la mettrons donc sous cette deuxième forme

X^ = /- -^ (X^ , z), qui s'accordera avec la première si

d'où l'on déduit

hz^W et '^-^^N,

/— dx — I — dx

et A'^Ue ^ '"^ ,

T sera le facteur qui rendra le premier membre X,„ une différentielle exacte. Mais, sans nous arrêter à des généralités qui nous feraient retrouver les résultats que Lagrange démontre dans le calcul des fonctions (i3^ Leçon et suiv.), appliquons ce qui précède à l'équation différentielle du second ordre

Cette équation, dans tous les cas où I f{x)dx sera exprimable en fonction de x, se mettra sous la forme plus simple

-Çfi^dx Il suffira pour cela de remplacer y par ye *^ "^ Si l'on connaît une intégrale première

de la dernière équation du second ordre, a étant la constante arbitraire d'une première intégration, on pourra déduire de cette intégrale ~ = M, M étant une fonction de x^ j, a. Mais, d'après ce que

KOTE m. i555

nous avons expliqué, nous poserons

g-,K,, = 4[.(:ir-„)].

Identifiant, on trouve

Az = 1, /C-— = o, du du dr , . du du

Les deux premières sont satisfaites en faisant /- = i , z = i ; mais la dernière ne pourra avoir lieu que dans le cas où le premier membre sera indépendant de a, qui n'est pas contenu dans «p(^, j). Ainsi, la dérivée du premier membre par rapport à a sera nulle;

donc

du du

doc doL du du

dx df dy dcL

Considérant la dérivée par rapport à .r et celle par rapport à j, lesquelles, d'après Tégalité, sont égales et de signes contraires, on

verra que -j- est le facteur qui rend dy — udx une différentielle

exacte.

On pourra donc intégrer -j-dy— — udx (42* Leçon, n° 529).

Un second exemple, pris du Mémoire que vient de publier le

géomètre suédois M. Malmsten, ne présente pas plus de difficulté.

dy Supposons qu'on connaisse une intégrale première ~j- ~ u de

l'équation du second ordre

dy dans laquelle jr' = -j-' Cette équation se met sous la forme

Nous avons marqué d'un trait les dérivées par rapport à ^, lorsqu'on ne considère pas j' comme fonction de x. Dans cette relation, et en vertu de l'intégrale donnée, on peut remplacer y' par u et

identifier ensuite le premier membre à

L'identité donne

dx L \dx / J

, d(Si\x.ii\ , dz hz = ^V — , k -y-- = o du dx

[et, par suite, z = i) ; enfin

<fcp(j:,w) /du du \ dv^yx^u)

du

(du du \ d(^[x^u) ., .

Si on transpose le terme ^ ' '' ? le second membre ne ren-

dx

fermera plus a; par suite, le premier sera indépendant de cette

constante, et sa dérivée par rapport à a sera nulle. Cette dérivée

est

jd'cp^x, u) du~\

I du du] fdu du \ du \dx dy )

/ du du

^^d'<){x,u){ ^^^ i ^"^ du du

du \ dx dy dy de/.

fd'^\x, u) du \ du (i y.

dx

De cette relation on voit clairement que, en prenant pour facteur

drs^[x, u) du d(i>

l'expression -^ [dy — udx) sera intégrable.

L'équation

dx ~y -^'^^^y) = ^

sera traitée de la même manière; car, après l'avoir développée, el'a devient

I r/«p(7', r') d'^Y , d'oir.r') ., ,

Remplaçant^ ' par u et identifiant le premier membre à

on trouve

/.= l!MfLfil> .=0; u du

enfin

u du \dx dy 1 ~^ dy

devra être indépendante de a, ce qui donnera - -~ pour le facteur qui rendra intégrable la fonction du premier ordre, de telle sorte que - -p [df— udx) sera une difTérenlielle exacte. Les équations du troisième ordre :

dx

qui se ramènent aux formes du second ordre quand on élimine dx

dy par la relation dx = —,) ne présentent pas de difficulté.

REMARQUES SUR LES EQUATIONS LINEAIRES.

\. Une équation linéaire X^= o a m solutions qui peuvent être

dy les intégrales d'équations du premier ordre j «J = o. Ces équations, qu'on pourrait nommer les composants deX„j= o, méritent une attention particulière. Jusqu'ici on s'est appliqué à éviter dans l'intégrale les fonctions imaginaires par une détermination convenable des constantes. Cependant, il est utile, dans certains cas, de les conserver, si on a en vue la simplicité analytique. Ainsi, les solu-

d'^y tiens en exponentielles de l'équation —^-{-j- = o fournissent des

composants à coefficients constants

Les solutions réelles Csin.r, Ccos.r conduisent à des composants dr , . dr

à coefBcients variables et, par suite, moins simples.

2. L'intégrale complète de X„, = o est la somme de m solutions de la forme

Il sera quelquefois possible de discuter la courbe qui représente une solution, sans intégrer l'équation ; cela paraît plus général et plus simple que de discuter l'intégrale complète avec ses constantes déterminées par des conditions particulières. Ainsi, comme on peut toujours faire disparaître le second terme d'une équation linéaire, l'équation du second ordre se ramènera à la forme

de laquelle on déduit, en multipliant par dj\, — '^J f{-^)fdf=o.

df dx'

Dans le cas où/(x) = A^, A étant une constante, la relation se met sous la forme

Or, il n'est pas difficile de prouver que si \Jf[x) reste comprise entre deux valeurs constantes A', A", depuis x' jusqu'à X ', les intégrales particulières de Féquation

dépendront de deux équations du premier ordre de la forme

dy , , \

telles, que (p(a:) sera comprise entre A' et A".

3. Enfin, les solutions d'une équation linéaire pouvant être considérées comme les intégrales d'équations de la forme

dy

KOTE m. 359

en posant

dy

on peut concevoir une équation algébrique

dont les racines, ou valeurs de v^ conduiront à la valeur de y. Si on donne l'équation algébrique

dont les coefficients sont des fonctions de x, de cette équation on

déduira p'" et les dérivées -7- ? V-? 5 • * • en fonction de x et des dx dx^

puissances de v inférieures à w. Si donc on veut former une équation différentielle

^my d'^-W j dr

telle, que ses m solutions particulières fournissent des valeurs de — ~ égales aux valeurs de (^, on posera

dy ydx

et, différentiant plusieurs fois de suite cette relation, on exprimera

, „^? j.n-ii""> 6n fonction de a; et des m — i premières puissances de V. Cette équation du degré m — i devra être identiquement nulle pour qu'elle ne soit pas en contradiction avec l'équation donnée en v du degré m. On aura ainsi des relations qui détermineront ^j, Z'j,..., b^^. Le calcul est élégant lorsqu'on transforme l'équation v'"— A!" = o, A étant fonction de x, en une équation différentielle. Si m = 3, cette équation est

dx' ^A dx' U A-^ ) dx ^•^-*'-

On pourrait aussi se proposer de transformer une équation différentielle linéaire en une équation algébrique dont les racines représen-

dY teraient les valeurs de — ^7- > mais ce problème inverse dépendrait

d'intégrations souvent impossibles.