DÉFINITIONS PRÉLIMINAIRES

i. Si f{z) est une fonction qui prenne la forme P + Q/^ quand on pose z = x-^y y/"^, P et Q étant des fonctions réelles en X et j, l'équation

entraînera les suivantes

et réciproquement. Il suit de là que si x et r sont les coordonnées d'un point variable, la partie réelle et le coefficient de \/— i d'une racine de l'équation (i) seront respectivement égaux aux valeurs numériques de l'abscisse et de l'ordonnée d'un point commun aux deux courbes données par les équations P = o, Q = o.

Les points d'intersection de ces deux courbes peuvent donc être regardés comme formant une représentation géométrique des racines de l'équation /(z) = o, et c'est pour rappeler cette propriété que nous les nommerons des points-racines.

2. On dit en général qu'une équation /(z) = o a /z racines égales à a lorsqu'on a /(z) = {z — af f(z), f(z) désignant une fonction qui ne devient ni nulle ni infinie pour z= a\ or, comme la fonc-

•f I \ tien f (z) = T- __ y, prend la forme - pour z=^ a, si l'on cherche

NOTE IV. 36l

sa véritable valeur d'après les règles connues, on voit que, pour qu'elle ne soit ni nulle ni infinie, on doit avoir

Toutes les fois que l'équation f{z) aura n racines égales, le pointracine correspondant sera pour nous l'équivalent de n points-racines qui coïncideraient, et nous le nommerons, dans ce cas, point-racine de V ordre n.