RELATIONS ENTRE LES DÉRIVÉES PARTIELLES DES FONCTIONS P ET Q

3. Relations entre les dérivées pni'tielles du premier ordre.

Si l'on suppose que z tienne la place de x -\-y\j—\ dans l'identité

/(z) = P+Qv/^,

et que l'on prenne les dérivées des deux membres, d'après la règle des fonctions de fonctions, on aura

On obtient ainsi deux expressions différentes de /'(s), et en exprimant qu'elles sont identiques on aura les relations

dx (If

dy dx

4. RÉCIPROQUEMENT, si Ics relations (2) ont lieu entre les dérivées de deux fonctions

V et Q sont la partie réelle et le coefficient de \/ — 1 d'une fonction

d^une seule variable z, dans lacjuelle on aurait substitué x-r-y \J — i à z.

En effet , posons

W-P+Qv/=T;

ÊubsUluons z— y \J— 1 à x dans cc»Ue expression , et prenons la

dérivée de W par rapport à j; nous aurons

rrw;^r^ dv

dy dx dy dy

[dQdx dQ\ , .

et comme -— = — i/— i, il en résulte dy ^ '

ily ~~\dy'^ 'd^l ^ \ dy dx ) ^~^'

Or, le second membre est identiquement nul d'après l'hypothèse.

On a donc —7— = o. Ainsi, le résultat de la substitution est indédy

pendant de j, et par conséquent W se réduit à une fonction de z, qui, par la substitution de x +y\J—\ à z, devient P + Q v/— ^«

S. Relations entre les dérwées partielles du second ordre. Les relations (2) étant identiques, on pourra prendre les dérivées des deux membres de chacune d'elles : on obtiendra ainsi

d'V d-Q dx' ^ dxdy

d'V d'Q dxdy dy'''

dx' ~ dxdy'

d'Q d'V^ dxdy~ dy'''

es relations

dx'-

dy^'

dx' ~

dy-''

RÉCIPROQUEMENT, si l'une des relations (3) est vérifiée par une fonction P , // sera possible de trouver une seconde fonction Q telle, que V et Q résultent de la substitution de x -\~y \J ~\ à la place de z dans une certaine fonction «p (z).

/dV -r- dy^ on aura

dy ~ dx' dx ~J dx' ^~ J dy' -^ ~ dy'

Ainsi, les relations (2) sont vérifiées par les fonctions P et Q, et par suite, il existe une fonction cp (z) telle, que l'on a identiquement

6. Relations générales entre les dérivées partielles de P et celles deQ.

On tire des équations (2), en les différentiant /c — i fois par rapport à ^, et n — k -;- 1 fois par rapport à j,

j dx^df'-" ~' dx^-'df'-'-^'^ ^^^ ' d"Q d"V

da^df'-" dj^-' df"-"^'

7. Relations entre les dérivées partielles de P ou de Q. On tire des équations (3) par la différentiation

djfdf'-" ~ dx^-'d/'-"-^'' d"Q d"Q

dx'^ ~~

dx"-'df'

dx"-'df' dx"-'dr'

<:/x"~' df

dx''-'dy

~ dx"-'dj' dx"-'df'

dx'^'Ulf'

~ dx"-'df' djf'-'df'

dx^df'-" dx^-'df '-'-'■'

Ces équations expriment une propriété commune aux deux fonctions P et Q. En y faisant successivement /c = n, n — 2, /^ — 4, . . . , puis k =^ n — I , /z — 3, n — 5, . . . , on obtient :

dx"-'dj' dx^-^dy dx"-''dj' dx-"-' dj' '

Ainsi, toutes les dérivées partielles de P ou de Q d'un même ordre, dans lesquelles V indice de différentiation relatif à une même variable est en même temps pair ou impair, sont égales en valeurs absolues.

Et si l'on range ces dérivées suivant un ordre de grandeur de cet indice, les signes 4- et — se succéderont alternativement.

SÉPARATION DES QUANTITES REELLES ET DES IMAGINAIRES DANS LES DÉRIVÉES DE /(z).

8. En différentiant par rapport à x les deux membres de l'identité/(z) = P-i- Q V^— I, nous avons trouvé

Cette formule fait voir que pour obtenir la partie réelle et le coefficient de \/^^ de la dérivée d'une fonction, il suffit de prendre les dérivées par rapport à x des parties analogues de cette fonction. En prenant n fois de suite la dérivée par rapport à :c, on trouve

On peut donner à cette expression deux autres formes et n'y employer que la fonction P ou la fonction Q. Il suffit d'y remplacer

d'après les relations (4). On aura ainsi

djd' dod'"'^ dy