PROPRIÉTÉS DES COURBES P ET Q. — POINTS MULTIPLES

11. Pour abréger, nous appellerons courbe P, courbe Q, les courbes représentées par les équations P = o, Q = o. Nous supposerons que le système d'axes auquel on les rapporte est rectangulaire.

Une propriété remarquable de ces courbes est d'avoir chacune un point multiple de l'ordre n, toutes les fois que l'équation primitive/(z) = o a « racines égales entre elles. Pour le démontrer, il faut faire voir : 1° que les fonctions P et Q s'annulent avec leurs dérivées partielles jusqu'à l'ordre n — i inclusivement quand on y substitue les coordonnées d'un point-racine de l'ordre n ; 2° que chaque courbe possède en ce point n tangentes distinctes.

12. Premièrement, quand /(z) a n racines égales à x-\-y\J--\^ on doit avoir, i désignant un nombre au plus égal à n ,

celte équation entraîne les deux suivantes :

dx'- ' ^x'"' dy

Il résulte de là et des relations (6) que toutes les dérivées de P d© l'ordre / sont nulles, et comme i est compris entre o et /z — i, il est donc démontré qu'en chaque point-racine de l'ordre n toutes les dérivées partielles de P s'annulent jusqu'à l'ordre n — i inclusivement. — Même démonstration pour la fonction Q.

43. En second lieu, les courbes V et Q ont chacune , au point (x, J-), n tangentes clistinetes.

Considérons d'abord la courbe P.

On obtiendra le coefficient angulaire -7- = tangw de la tangente

menée à la courbe par le point [x^ y)^ en égalant à o la différentielle totale du rt'""" ordre. D'après la formule ( 9 ) , l'équation qu'il faudra poser sera donc

sm"w

Le dénominateur de cette équation n'est jamais supérieur à l'unité, et il ne peut devenir nul en même temps que le numérateur qu'autant qu'on a

Mais ce cas peut être écarté , car il suffit, pour l'éviter, de changer la direction des axes de coordonnées. Donc si l'on suppose -^\^> on aura toutes les solutions de cette équation en posant

(10) tangww^i

cLuf^^df

et si l'on fait

on aura

rf»P

djif"

dx"~^dy

(II) « = f^4-/--.

NOTE JV. 367

Pour avoir toutes les tangentes à la courbe P, il suffît de donner à n les valeurs o, i, 2, . . . , w — i, et l'on obtient n valeurs de w,

formant une progression arithmétique dont la raison est -• Donc

la courbe P présente, au point considéré, n tangentes distinctes et tellement disposées, que deux tangentes consécutives comprennent un angle égal à la /z'*""* partie de deux angles droits.

d4. îl importe de remarquer qu'un point-racine de l'ordre n ne peut être un point d'arrêt on un point isolé, pour aucune branche de la courbe P, du moins dans le cas où la fonction P est continue. En effet, l'équation qui donne tang w ayant toutes ses racines inégales, on voit facilement, en développant P par la série de Taylor, que cette fonction changera de signe quand on y substituera successivement les coordonnées de deux points suffisamment rapprochés du point N, et situés de part et d'autre d'une même tangente.

15. Un calcul analogue à celui que nous avons fait pour la courbe P assignerait aussi à la courbe Q, en tout point-racine de l'ordre /?, n tangentes distinctes et tellement dipp'^sées, que deux tangentes

consécutives comprennent un angle égal à -• On peut déjà en conclure qu'entre deux tangentes consécutives à la courbe P il y a toujours une tangente à la courbe Q. Mais je dis de plus que :

Les tangentes h la courbe Q sont les bissectrices des angles formés par les tangentes à la courbe P.

Pour le démontrer, rappelons-nous la formule

(10) tang/zw = —

cl"V (Ljc"

claf-' dy

En appelant u l'angle qu'une tangente à la courbe Q fait avec l'axe des X, nous aurons de même

rZr" (12) tang/zu = -

Or, d'après les relations (4 ),

6te" dx"'^ dy dx"~^ dy ~ cixf'''

donc

tang «w tang «ij= — 1;

d'où

noi — nv = ± -)

w — u est l'angle compris entre une tangente à la courbe P et une tangente à la courbe Q la plus voisine, et l'équation (i3) montre que cet angle, abstraction faite du signe, est la moitié de l'angle

- compris entre deux tangentes consécutives à la courbe P. 16. Les résultats précédents comprennent le cas particulier d'un