I TT

point-racine simple. En un point de cette espèce, l'angle — formé par la tangente à la courbe P et la tangente à la courbe Q se réduit à -• On peut d'ailleurs l'établir directement. Ainsi :

£/i un point-racine du premier ordre les courbes V et Q se coupent à angle droit.

Cette propriété appartiendrait encore aux courbes représentées par les équations

A etB étant deux constantes quelconques.

PROPRIETES DES COURBES DONNEES PAR LES EQUATIONS P~Q = 0, P + Q=o.

M. La courbe qui a pour équation P — Q = o est le lieu de tous les points dont les coordonnées, subsliluées dans les fonctions P et Q, donnent des résultats égaux et de même signe. En chaque point de

p cette courbe le rapport tt est égal à i.

La courbe qui a pour équation P + Q = o est le lieu de tous les points dont les coordonnées, substituées dans les fonctions P et Q,

p donnent des résultats égaux et de signes contraires. Le rapport t-

y est constamment égal à — i .

Les courbes P — Q, P + Q jouissent des mêmes propriétés que les courbes P et Q, et il suffit pour le démontrer d'observer que les fonctions

KOTE IV. 369

sont la partie réelle et le coefficient de /^ de la fonction

D'ailleurs p etq s'annulent évidemment avec leurs dérivées jusqu'à l'ordre n exclusivement, quand on y substitue les coordonnées d'un poinl-racine de l'ordre n ; d'où il suit que :

£n u/i point -racine de l'ordre n:

1° La courbe P — Q a n tan génies distinctes dont chacune fait

avec celle qui la suit un angle égal a — ^

2° La courbe P H- Q « aussi n tangentes distinctes qai sont les bissectrices des angles formés par les tangentes à la courbe P — Q.

18. Pour construire les tangentes à nos deux nouvelles courbes il suffit de connaître l'angle qu'une tangente à l'une d'elles fait avec une tangente à la courbe P.

Soit tang n t le coefficient angulaire d'une tangente à la courbe P — Q : on a trouvé plus haut

(10) tang«w= ^T^Tp-i

dx''-' dy à cause de la symétrie du calcul, on aura aussi

tang/ze = 7- •

dx'"'dy

Mais

d^p dx'^

r/«P r/"Q r/''P rf"?

f/x" r/.:c" dod' ' dx'"'dy'

r/"P cV'(^ r/»P

dx"-^dy ~ dx"-^dy dx"'^ dy ~ dx"-^dy " dxf" '

donc

d.jc" dr"- ' (Ir — ftangww + i'^ / r.

tang«£ = 77n5 T7rvi = — ^ -, ''— tang /zw— -

j/ P d"? — I — tangww ° \^ 4

dx"-'Uly dx"

d'où

SiLUM. — An., II. l/\

370 COURS d'aivalYvSe.

De là résulte que si Von construit, comme au n° 14, les tangentes aux courbes V et Q^ et que si Von désigne respectivement les angles consécutifs formés par ces tangentes par les ^ombres

les bissectrices des angles de rang pair seront les tangentes à la courbe P 4- Q. Les bissectrices des angles de rang impair seront les tangentes à la courbe P — Q.

DÉMONSTRATION d'uN THÉORÈME DE M. CAUCHY.

49. Traçons autour d'un point-racine N, de l'ordre n, un cercle assez petit pour que dans son intérieur les courbes P, Q, P — Q, P + Q se confondent sensiblement avec leurs tangentes, et, par suite, ne puissent s'y couper mutuellement ailleurs qu'au point N. Un point mobile M qui parcourra la circonférence dans le sens direct de rotation, c'est-à-dire en allant des x positifs aux j positifs, devra rencontrer in fois chacune des quatre courbes, et toujours dans l'ordre suivant :

Concevons qu'à chaque position du point mobile on substitue ses

coordonnées dans le rapport ^' De la courbe P — Q, où -^ est posi-

tif (17), le point M passe sur la courbe P, où pt s'annule, et de la imme-

diatement sur la courbe P -h Q, où ^ est négatif. Donc chaque fois

que le point M traverse la courbe P, le rapport ^ passe du positif

au négatif. Ce rapport passe, au contraire, du négatif au positif chaque fois que le point M traverse la courbe Q.

Donc lorsque le point mobile sera revenu à sa position initiale après avoir rencontré in fois la courbe P et 2« fois la courbe Q, le

rapport -^ aura passé 2/2 fois du positif au négatif en s évanouissant,

et2/z fois du négatif au positif en devenant infini.

Si au lieu d'un cercle ou d'un contour convexe on trace une courbe fermée très-petite, qui présente des sinuosités, le point mobilo pourra traverser plusieurs fois chaque portion de la courbe P, mais il devra la traverser une fois de plus dans le sens direct que danr lesens rétrograde, puisqu'il doit revenir à sa position initiale. Donc,

pour chaque portion de la courbe P, le rapport ^ passera une fois

de plus du positif au négatif que du négatif au positif, et quand lo point mobile sera revenu au point do départ, ce rapport aura passé en s'évanouissant ^n fuis de plus du positif au négatif que du négatif au positif. Au contraire, ce rapport aura passé en devenari^ infini 2 /^ fois de plus du négatif au positif que du positif au négatif.

Ainsi se trouve démontré, pour un cas particulier, un théorème iremarquable dû à M. Cauchy, et dont voici l'énoncé :

Le nombre des poirits-racines situés dans V intérieur d' un contour fermé ^ en supposant quil ne s'en trouve aucun sur ce contour meniez est égal à la demi- différence entre le nombre des variations {*)

P descendantes et celui des variations ascendantes du rapport ^ -, pour

toute retendue du contour supposé parcouru dans le sens direct de rotation.

20. Du cas particulier que nous venons d'examiner, on s'élève au cas général par les considérations suivantes, empruntées à un Mémoire de MM. Sturm et Liou ville [Journal de Mathématiques, t. I, p. 278) :

« Soit A l'excès du nombre des variations descendantes sur le

p nombre des variations ascendantes du rapport tt 5 pour un contour qui

renferme ^ racines. Il faut démontrer que l'on a p— - A. Or,

» 1" Le théorème est évident pour un contour quelconque ABC, lorsque dans l'intérieur de ce contour et sur le contour même on n'a jamais P — o; alors, en effet, les deux nombres p et A sont tous les

deux nuls, et par suite l'équation pi = - A est satisfaite.

» Elle est satisfaite encore lorsque dans l'intérieur du contour ABC, et sur ce contour môme, on n'a jamais Q = o; le nombre \i est alors encore égal à zéro, et je vais prouver que l'on a aussi A = o. Eu

effet la fraction -^j quand on aura fait un tour entier pour revenir

au point de départ A, devra se retrouver en ce point affectée du même signe que d'abord elle possédait, quand le mcuvement a commencé : donc cette fraction doit changer de signe un nombre pair

(*) J'appelle variation ascendante le chan(jement de si{jne d'une quantité qui passe du négatif au posiufcn s'évanouissant. Une variation descendante est le contraire.

372 COURS d'ajnalyse.

de fois, toujours en s'évanouissant, puisque son numérateur seul peut devenir nul, et en passant alternativement du positif au négatif et du négatif au positif : donc enfin l'excès A du nombre de fois où elle va du H- au ~ sur le nombre de fois où elle va du — au -h en s'évanouissant, est égal à zéro; ce qu'il fallait prouver.

» 2° Quand le théorème de M. Cauchy a lieu pour deux contours ABCA, ACDA qui ont une partie commune AC, il a lieu également pour le contour total ABCDA formé par leur réunion. En effet,

p l'excès A du nombre de fois où ^ s'évanouissant passe du -h au —

sur le nombre de fois où cette fraction en s'évanouissant passe du — au ■+- est le même, soit qu'on parcoure le contour total ABCDA, soit qu'on parcoure successivement les deux contouis ABCA, ACDA, puisqu'à chaque passage du -h au — ou du — au +, qui a lieu quand on va sur le côté AC de C en A, répond un passage inverse du — au + ou du + au —, quand on va sur le même côté de A enC. Or, en supposant que le nombre des racines soit égal à f/ dans le contour ABCA, et à p" dans le contour ACDA, on a A = i^i' pour le premier de ces contours, et A = 2//-" pour le second, puisque le théorème de M. Cauchy est supposé applicable à l'un et à l'autre, d'après ce qu'on vient de voir : il résulte de là que, pour le contour total ABCDA, on a A == 2 ( p.'4- p,") ; donc le théorème de M. Cauchy est vrai pour le contour ABCDA qui renferme p/+ f/." racines.

» Si l'on considère un nombre quelconque de contours juxtaposés, pour chacun desquels ce théorème ait lieu, il aura lieu également pour le contour total formé par la réunion de ces contours: c'est ce qu'on verra en réunissant ces contours successivement deux à deux, comme on peut le faire d'après ce qui vient d'être démontré.

» 3° Étant donné un contour quelconque ABC, on peut toujours le concevoir divisé : I. En contours convexes tracés autour de chaque racine contenue dans l'intérieur de ABC, assujettis aux conditions énoncées n** 19 ; II. En contours semblables à ceux dont on a parlé (1°), c'est-à-dire pour lesquels on n'a jamais à la fois P = o, Q = o. Le théorème de M. Cauchy ayant lieu pour les diverses parties dans lesquelles on divise le contour ABC;, aura lieu pour ce contour même ABC, dont la forme est arbitraire.

» Ce théorème est donc entièrement démontré.

» Toutefois, nous excluons formellement le C3S particulier où, pour quelque point de la courbe ABC, on aurait à la fois P == o, Q = o: ce cas particulier ne jouit d'aucune propriété régulière, et ne peut donner lieu àaucun théorème; car, dès qu'on l'admet, l'excès A peut varier avec la forme du contour sans que le nombre fx varie; de sorte qu'il n'existe alors entre fx et A aucune relation constante. »

ASYMPTOTES DES COURBES P, Q, P — Q, P + Q, DANS LE CAS OU P ET Q SONT DES FONCTIONS ALGEBRIQUES ET ENTIÈRES. — THEOREME SUR LE NOMBRE DES RACINES d'uNE ÉQUATION ALGEBRIQUE.