Soit une équation algébrique et entière de degré m

H-(A,„ + B„y=T) = o; si nous posons

z = a: -\-x\/—i = r (cosw -!- v/— isinw),

K + B«/-^= P« (cosa„ -h v/^sinaj, nous aurons

/(^+js/=T) = P4-Qv/=^

= p/-'"[cos(a -f-/w&>) -i-v/~^sin(a -r /ww)]

H- p, r"'~'jcos[a, -h (/« — i) w] -!- sj — I sin [a, -4- (/w — i) w] ' 4-. ..,

P =r p/''"cos(a + /7?w] +p,r'"-*C0s[a, + (w — 1} w]

+ P2/-"'-^C0s[a^-}-(m — 2)wJ -r. . ., Q = p/-'"sin (a -\- ww) H- p, /-'"-'sin [a^ -|- (/?/ ~ i) w]

H-p2/''"~^sin[a2 + (/72 — 2)w]-h

Les polynômes P et Q ainsi définis, nous allons chercher les asymptotes des courbes données par les équations P = o, Q = o.

22. Les coefficients angulaires des asymptotes d'une courbe algébrique de degré m s'obtiennent en égalant à o la somme dos termes de son équation qui sont du w'""^ degré, après y avoir fait X = rcosw, f = rsinw.

Or, les termes du m^""" degré dans les polynômes P et Q proviennent évidemment de la substitution de x+jy/— ^ à la place de z dans le terme (A^ -}-B^\/—i) z'" de l'équation /(z) = o. Donc, si réservant w pour désigner l'angle qu'une asymptote à la courbe P fait avec l'axe des x, on appelle u l'angle analogue relatifà la courbe Q, on obtiendra w et u en posant

p/'"'C0s(a-f-/;2w) = o, p7''"sin(a 4-wrj) — o, d'où l'on tire

a - 7T I TT

TT

374 COURS d'aivalyse.

23. Quand l'équation d'une courbe du degré m est telle, qu'on puisse faire disparaître les termes du [m — iY""" degré en posant X = x' -\- x^, y ■= y -{-f^^ on sait que toutes les asymptotes de cotte courbe passent par le point (.2?,, j,).

Les courbes P et Q sont dans ce cas.

En effet, si dans l'équation /(z) = o on fait z=z' + ^, + j, y/ — 1, U suffira, pour faire disparaître le terme en z'"'-\ de poser

^1 + Ji V^—i = ou bien, séparément,

m A^ + B^ ' •^' m A^ + li^

La transformée en z' n'ayant pas de termes du [m — lY""'^ degré, les polynômes P,, Q,, analogues à P et à Q, que l'on déduit de cette transformée en posant z' = x' -I- j' y/— 1 5 n'auront pas non plus de termes de ce degré.

Mais il est évident que P, et Q, sont ce que deviennent P et Q quand on y fait x — x'-{-x^^ y = j'-f- j,. Ainsi, les polynômes P et Q perdent leurs termes du degré m — 1 par ce changement de variables, et, par suite, toutes les asymptotes des courbes P et Q passent par le point (^,, jj.

24. Des formules (16) il résulte : 1° que les deux courbes P et Q ont chacune m asymptotes distinctes ; 2" que deux asymptotes

consécutives de l'une d'elles comprennent un angle égal à — 5

dont la bissectrice est une asymptote de l'autre courbe (*).

La construction des asymptotes est donc la même que celle des tangentes en un point-racine de Tordre n.

Les équations qui donnent tangw et tangu n'ayant que des racines inégales, les asymptotes ainsi obtenues sont bien réelles et s'approchent indéfiniment des courbes P et Q, tant du côté de l'infini positif que du côté de l'infini négatif.

25. Les courbes P — Q, P + Q ont aussi chacune m asymptotes . qui passent par le point [x^, y^). Leur position par rapport aux asymptotes des courbes P et Q est la même que celles des tangentes n° 18. Il résulte de là que si du point (x,, j,) on décrit

{*) Ces propriétés des asymptotes ont été remarquées par Gauss et publiées par lui, en 1799, dans une thèse intitulée : Demonsiratio nova theoreniatis omnemfonctionem algebraicam ralionnlem inic-gram unius variabilis injactores reaies primi vel secundi gradus resoh'i passe. Helmstadîi.

un cercle assez grand pour que, près de sa circonférence, leF courbes se confondent sensiblement avec leurs asymptotes, un point mobile, parcoar^nt ce cercle dans le sens direct de rotation, rencontrera im fois chacune des quatre courbes, et toujours dans l'ordre suivant :

..., P-Q, P, Ph-Q, Q, P-Q,....

Par conséquent, la différence entre le nombre des variations des-

p cendantes et celui des variations ascendantes du rapport jr sera

égale pour ce contour à im. Le nombre des points-racines qu'il renferme est donc égal à w, et comme au delà les courbes ne peuvent pas se couper, on en conclut que toute équation algém brique et entière, de degré m, a coefficients quelconques, admet m racines de la forme a + 6 \J — 1 .