FORMULE FONDAMENTALE

i. Soient/(x) une fonction quelconque et/? un nombre entier positif. Proposons-nous de trouver une fonction f{n) telle, que Ton ait

(i) ^{n) ^f[x) ^-/(.rH- h) M-/(x-f-2/0 -f-. ..4-/[^ -\-[n-i)hl

Posons

Il en résultera

(3) ^[n -\-\) ~ <^[n) =^ f [x + nh),

(4) •h\n-i-i)~-y^n) =^j"{x-^-nh).

La fonction <p doit satisfaire à l'équation ( 3 ) pour des valeurs entières de n ; mais il est clair que cette condition sera remplie à plus forte raison, si l'on obtient une fonction ^ telle, que l'équation (3) soit satisfaite pour toutes les valeurs que l'on mettrait à la place de /?. Alors l'équation (3) est identique. On pourra donc prendre les dérivées des deux membres par rapport à /?, et l'on aura

(5) <^'{u-\-i)~r^'{n)^-.hf'[x-\-nh), et, en comparant avec l'équation (4),

Si maintenant nous changeons successivement nen/i-{-i,n I- 5. , . . . , n -h /', nous aurons, en ajoutant les résultats,

JNOTE VI. 66S

ou bien

Le premier membre de cette égalité est indépendant de X-; donc il doit en être de même du second : mais ce dernier est une fonction de n -i- A, et il ne peut pas être indépendant de A sans l'être de n. Donc l'égalité (7) sera satisfaite si l'on pose

c désignant une constante, c'est-à-dire un nombre indépendant de n. En désignant 'f (/^) par S/(x) et ^î^(«) par Sf'[a;), on aura

^S/(x)=/^S/'(x) + r, et en intégrant, (I) Sf{x)=hjsf'{a:)d;i-hcn,

formule qui fait dépendre la sommaion de la fonction /(x) de la sommation de sa dérivée. On n'ajoute pas de nouvelle constante , parce que S/(^) doit être nulle pour /z = o.