APPLICATION AUX FONCTIONS ENTIÈRES

2. Supposons que /(x) soit une fonction entière du degré m; alors /'"(a;) est une constante A, et Pon a tout d'abord

d'où l'on tire successivement, en appliquant la formule (I),

Ah'n' K/Pf?' BJin' B.n

et enfin •^ ^ ' ~~ 1.2.3. . ./;/(/y/ + i) ~^ 1.1.3.. .ni

B,2 B^,. . ., B^^ sont des constantes dont les valeurs se détermineront successivement, à chaque intégration, en faisant /^ = i.

3. On trouvera très-facilement par ce moyen les sommes des puissances des n premiers nombres. En désignant ces sommes par S^ , Sj , S2 , . . . , on aura , en général ,

II) S,, = /« r"s,r//2 + c;

on a d'abord

et en intégrant,

b, = 1- en,

Pour déterminer c, on fera /z = i , ce qui réduit le premier membre à I : on aura donc i = - + c, d'où c = - , et

On aura de la même manière

et ainsi de suite.

On voit que la formule (II) présente un grand avantage sur la formule du n° 743 qui fait dépendre chaque somme de toutes les sommes d'un indice moindre. En partant de la valeur de S^, donnée au numéro cité , on trouvera facilement

^«-y'+'T + ir- ir + 4^'

„ if , n^ 2/z' 'jrv' iiv' n ^« ^-^2-^ 3 i5 + 9 3o'

^ 72'^ , /?" 1172"» ll/i^ II /2« 11/2'