Soient

y =.^11 sin^.r , 2 = Sw cos^^,

y^ ~ '^a'sinhx, z, = Sw'cos^o:; en aura, en différentiant deux fois de suite, dy , ,

Cette seconde équation, linéaire et du second ordre, ramène donc 'èiiûnhx à Su' smbx et à Su' cosbx. On pourra donc trouver Sm sin^jT, par une suite de semblables réductions, quand u sera une fonction de x algébrique et entière.

3" Soient

y — ^uff'' sinè.r, z — Sue"" cosbx, j\ — S m' e'" si II ba; , z^ = Sll' e""" cos bx ; on aura

dy

rélimination de z entre ces deux équations donnera une équation du second ordre et fera dépendre jr de j, et de z^. Il sera donc possible d'obtenir les intégrales demandées quand u sera une fonction algébrique et entière.

Si maintenant on se rappelle que les puissances de sin^x et de cos^j:' peuvent s'exprimer en sommes de sinus ou de cosinus des multiples de bx , on conclura des trois cas que nous venons d'examiner la possibilité d'obtenir

S/{ ^ , sin ^x , cos bx , <?'"' } ,

lorsque la fonction / sera algébrique et entière.