Toute équation

qui satisfait à l'équation différentielle donnée et qui j^enferme m

constantes arbitraires au moyen desquelles il soit possible de donner ^

dr pour x ^= a^ des valeurs arbitraires b, ^', . . . , ^('"~') à y^-j- •> • ' • •,

-y— fpî est identique à V intégrale générale.

552 à 554. Conditions que doit remplir une fonction pour être l'intégrale d'une équation du «i'""" ordre.

555 et 556. Lntégrales des divers ordres d'une équation différentielle, — Une équation différentielle de l'ordre m a pour intégrale une équation de la forme

40O TABLE AIVALYTIQUE

En éliminant, tour à tour, chacune des m constantes c, c',..,, r("'-'), on obtient m équations difîérentielles du premier ordre dont chacune contient seulement m — i constantes. Ces équations sont dites des intégrales de rordre m — i.

En éliminant successivement deux des m constantes on aura

— équations différentielles du deuxième ordre contenant

chacune m — 2 constantes, et qu'on nomme intégrcdcs de l'ordre m — 2.

557. On pourra de même parvenir à des intégrales de l'ordre /?/ — 3, de l'ordre w — 4, etc. Si l'on élimine toutes les constantes moins une , on aura m équations différentielles de l'ordre m — i qui seront des intégrales du premier ordre.

558. Les intégrales du premier ordre, résolues par rapport aux constantes, donnent m équations de la forme

c = «; on aura

du du , du ,, du .^ , „„ ,,t

Cette équation doit être identique.

559. Intégration de l'équation -y-— = v, — Si l'on désigne par

/ vdjf" l'intégrale / dx j dx. . . / vdx qui résulte de n intégrations successives par rapport à x, on aura

y = Ivdx"' H- ex'"-' 4- c'x'"- = -;-...+ cC''-').

560. L'intégrale multiple qui entre dans la valeur de y peut s'exprimer par la formule

/ ç(Ijc^' ^ , \~Zr~\ T-^'" ' r ^"^ — [n-\)jf'-'' Çvx dx

X"-' Ux'^dx — ,,.àz ji>x"-'dx .

(/? — i]in — ^'i