Application : équation du second ordre
dx- '
à laquelle se réduit l'équation dite de Riccati
en posant
-^ ~ z dx
618 à 621. Intégration d'une équation différentielle a l'aide d'intégrales définies.
d'^y ,l^ffy, 7 2 • — dx^ X dx ^ '
r^ r= A / cos ( hx y/â cos a ) sin"' ~ ' a r/a ,
y^= k'x^'"' j cos(/^xv^'^cosa)sin'~'"ac?a. Jo
équations différentielles simultanées.
622. Élimination d'une variable entre deux équations différentielles.
/ dr d'"r dz dPz\
„/ dr d"r dz d''z\
DES MATIÈRES. /[Og
On différen liera n fois la première équation, et m fois la seconde ; on aura ainsi m-{- n -\-i équations entre lesquelles il sera possible d'éliminerparles moyens ordinaires de l'algèbre les/w + /z -f-i incon-
iiy d^ y d'"'^" Y
nues 7, y- 7 ~7~T' ' * * ' r/r""" ' L'équation finale sera, en général,
d'un ordre égal au plus grand des deux nombres /z 4- /?, m-\-q.
623. Plus généralement, si l'on avait r équations différentielles contenant une variable indépendante x et r fonctions j, z, w, . . . de cette variable, on élimineraitjr entre ces /- équations, ce qui donnerait r — I équations entre z, w,. . , . On éliminerait ensuite z entre ces r~-i équations, et ainsi de suite. On arriverait ainsi à une équation différentielle ne renfermant plus qu'une seule des fonctions inconnues.
624 et 62o. Systèmes d'équations du premier ordre équivalents À UNE ou plusieurs ÉQUATIONS d'uN ORDRE QUELCONQUE.
626. Théorèmes sur les intégrales des équations simultanées DU PRE3IIER ordre. — Trois équations différentielles simultanées et du premier ordre peuvent être remplacées par des équations de la forme
d.T df dz du
Les équations intégrales doivent contenir trois constantes arbitraires.
627. m équations du premier ordre entre m + i variables j et qui peuvent être mises sous la forme
dx dy __ dz
admettent toujours m intégrales contenant m constantes arbitraires.
628. Quand on ne peut pas résoudre le système proposé par rapport à toutes les dérivées, il existe entre les variables un certain nombre de relations algébriques au moyen desquelles on peut faire disparaître les dérivées dont le système n'a pu fournir les valeurs. Dans ce cas, le nombre des constantes n'est plus égal au nombre des fonctions.
629. Intégration des équations simultanées du premier ordre. — Soit
dx df dz du
T "^ "Q ""ïï ~ T
4lO TABLE ANALYTIQUE
un système d'équations simultanées. Les équations intégrales peuvent être remplacées par le système
On peut donc trouver trois fonctions ûex,x,z, u qui conservent des valeurs constantes quand on y fait varier simultanément toutes les variables.
On aura les trois équations identiques :
do,
da
dx
dx
dz
du
dj
dx
dr
dz
du
630. Réciproquement, si Von trouve une fonction 9 des variables X, y, Zy u, sans constante arbitraire, telle, que Von ait identiquement
(ix dj dz du
V équation
sera une intégrale des équations simultanées dx dy dz du
L'équation
est aussi une intégrale des équations proposées.
632. Toute fonction 0 de x, y, z, u qui satisfait a Véquation
pf + Qf^H Rf+V!^=0 dx ^ dj dz au
doit se réduire à une fonction rfe a, 6, y.
CINQUANTIEME LEÇON.
