L'intégrale de l'équation est

ax-\- by-\- cz = 4>(x'-^-|-jr^+ z^].

676. Quand l'axe de révolution est l'axe des z, les équations se réduisent à

py — qx^o.

677. Des lignes de niveau et des lignes de plus grande pente.

— Soit une surface

et supposons le plan des xy horizontal. On appelle lignes de niveau les sections faites dans cette surface par des plans horizontaux. Une ligne de niveau a pour équation

dx~~ q

4l6 TABLE ANALYTIQUE

Elle exprime que la tangente à la ligne de niveau, en un point M de la surface, est parallèle à la trace horizontale du plan tangent mené à la surface par ce point.

678. On appelle ligne de plus grande pente d'une surface une courbe qui, en chacun de ses points, a pour tangente celle des tangentes à la surface, en ce même point, qui fait le plus grand angle avec le plan horizontal.

L'équation différentielle

pdf — qdx

représente la projection, sur le plan horizontal, de toutes les courbes de plus grande pente.

679. Une ligne de plus grande pente coupe à angle droit toutes les lignes de niveau, et réciproquement toute courbe qui jouit de cette propriété est une ligne de plus grande pente.

680 et 681. Application à l'elMpsoïde.

SUITE DES APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES DES ÉQUATIONS AUX DIFFÉRENTIELLES PARTIELLES.

682. Des surfaces développables. — On nomme surfaces developpables celles qui étant supposées flexibles et inextensibles peuvent s'appliquer sur un plan sans déchirure ni duplicature.

Toute surface développable est le lieu des tangentes à une certaine courbe, nommée arête de rehroussement de la surface. Dans le cône, l'arête de rehroussement se réduit à un point, et dans le cylindre cette courbe passe à l'infini.

683 à 686. Équation du premier ordre qui convient à toutes les surfaces développables :

p=.7z[ci),

687. Équation aux dérivées partielles et du premier ordre, résultant de l'élimiiïàtion précédente. Posons

cV-z cPz d'z

dx^ ^ dxdf ' df

Équation aux dérivées partielles et du second ordre des surfaces développables :

688 et 689. Intégration de l'équation aux différentielles

PARTIELLES DES SURFACES DÉVELOPPABLES. — L'équatiOD

s"^— rt = o ne convient qu'aux surfaces développables.

690. Des surfaces réglées. — On nommQ surfaces réglées cgWq?, qui s'engendrent par le mouvement d'une ligne droite; surface gauche, toute surface réglée qui n'est pas développable.

Soient

X = az-\- oc,

les équations d'une droite : si «, b, a, ê sont des fonctions d'une même indéterminée 7, en faisant varier 7 d'une manière continue, la droite se déplacera successivement dans l'espace et engendrera une surface réglée.

G9i. Équation différentielle du premier ordre, renfermant seulement deux fonctions de l'indéterminée 7 :

ap-\-bq = i,