DÉFINITIONS ET NOTATIONS. — Soicnt

l'équation d'une courbe, et

l'équation d'une autre courbe qu'on obtiendrait en faisant varier extrêmement peu la fonction f(^). Si l'on appelle Sf l'accroissement de l'ordonnée MP quand on passe à la seconde courbe, l'abscisse restant la même,

est ce que l'on nomme la variation de l'ordonnée ou de la fonction.

756. On ramène les variations aux différentielles en regardant 7 comme une fonction de x et d'un paramètre arbitraire /. Soit

on aura

•^ dt ^ -^ dx

757. Il est souvent nécessaire de faire varier, à la fois, x et y^ quand or passe de la courbe proposée à la courbe infiniment voisine. On regarde ^ et j comme des fonctions d'une variable indépendante w, et d'un certain paramètre t : soit

On suppose que pour t = 0^ y devienne une certaine fonction de X, f(-^), et que x devienne une fonction quelconque de //,

On aura

Si laissant à t une valeur constante on faisait varier m, on aurait

dx = -^ du, dy=-j^ du.

du ' -" du

758. On appelle variation de U la partie de AU qui ne dépend que des premières puissances des variations ^x et ^y.

7o9. On appelle variation seconde d'une fonction U la variation de (îU : on la désigne par ^^U. La variation de cette dernière est appelée variation troisième de U et se désigne par <î^U, et ainsi de suite.