Exemples. — i
( I ) xdj — j(U = d.v sj x'^ -h j^
Cette équation est homogène et du premier degré. En appliquant la méthode précédente, on la ramène d'abord à
dx dz
d'où l'on tire, en intégrant,
ou
ce qui donne, en remplaçant z par -> et en faisant disparaître le radical,
(2) a-2 zzr 2 rj -{- c^
On parvient à l'équation différentielle (i) quand on ré- Fig ,10, sout ce problème : Trouver une
courbe MNP telle, que le rayon vecteur OM soit égal au segment OT compris entre l'origine et le point oii la tangente MT rencontre Taxe des j. D'cprès l'équation (2), cette propriété appartient à toutes les paraboles qui ont pour axe la
droite Oj et pour foyer le point O.
2° xdx -{- jdy ^:z 1 nj dx.
On trouve
J y — inz-\-z'
4^ COURS DAIVALYSE.
dz
1^+ -l(i — Q.nz -l-zM -f-
Quand /f = I, on arrive à l'équation intégrale
rr
En différentiant, on a
rdx :=: '- ?
équation homogène dont l'intégrale est
4° [mx -{- nj) dx -i - {px -\- qy) dy z=o.
On a
J m -h [n -h p ) z -+- qzet l'intégration peut toujours s'achever.
ÉQUATIONS QUE l'oN PEUT RENDRE HOMOGENES.
508. On peut quelquefois rendre homogène une équation qui ne présente pas ce caractère. C'est ce qui arrive pour l'équation
(i) (a H- mx -+- nj) dx -{- [b -r- px -h qj) dy z=. o.
En posant
on a
(a H- ma. -1- « 6 + mx' -\- ny')dx->r[b -f-/Ja -\-q^-\-px' -^ qy') dy' .
Il suffira, pour rendre cette équation homogène, de poser
b-\-pct.-\-q^z=zQ
d'où l'on tire
hn — an ^ np — hm
a— -^ Srn: ?
mq — np mq — np
et il restera l'équation
(2) [mx' + ny') dx' -f- [px' -\- qy') df'=o,
509, Cettetransformationest impossible si m<y — np=o. Dans ce cas, on a ^7 == — , et l'équation (i) devient
m [a -h mx -\- nj) dx + [mb -f- [mx -f- nj) p'\ dj = o.
On poso
mx -T- ny ■=: 2, d'où
dz — m dr.
il en résulte
dz — m dx
m [a -h z j dx -\- [ bm -f- pz ) : — o
et
( bm H- pz ) dz
(3 mdx= ^ -^~-^~^- -,
^ ' bm — an -\- [p — n)z
équation où les variables sont séparées.
Si, en même temps que mq — np =. o^ on a q zz^ o, il faut que n oup = o, et les variables se séparent immédiatement.
