Soit, par exemple

j" = axP.

On aura

(dy\ dy

Si l'on élimine «, après avoir multiplié la dernière équation par cT, on aura, en divisant parj^"~^,

dy \ dy

ou

[inpy — nx) — \- mnx -\- py z=o,

équation liomogène que l'on sait intégrer.

En particulier, si Ton suppose n = p ==i, c'est-à-dire si Ion demande les trajectoires des droites représenlées par Téquation

yzzzax,

l'équation différentielle sera

m ( X dx -T- ydy) -\- y dx — xdy ■=: o\ divisée par x'^-\-y'^ et intégrée, elle donne

m \[x'^ + y^y =z arc tang - -j- C ,

et, en prenant des coordonnées polaires,

ni\r=zO-\-C, ou r=z€ '" ^ce'".

Donc les courbes qui coupent sous le même angle toutes les droites menées par l'origine sont des spirales logariihmiques semblables, ayant cette origine pour point asymptotique.

519. Le problème des trajectoires se simplifie quand l'angle donné est droit. Dans ce cas, les trajectoires sont dites orthogonales^ et l'équation différentielle résulte de l'élimination de a entre les deux équations

Ainsi, dans l'exemple du n^ 518, il faut éliminer a entre les équations

j" = aœPy nj"~^ -^ paxP~^ - = o,

ce qui donne l'équation

"^ + ^-'';Zi"^°'

r/j rijc -t- py - <

dont l'intégrale est

/ZX ' + />•/ ^ ==: C.

Suivant que n et p seront de même signe ou de signes contraires, cette équation représentera une infinité d'ellipses ou d'hyperboles semblables et concentriques.

Si l'on se proposait de chercher les trajectoires orthogonales des courbes données par l'équation

on devrait évidemment retrouver Téquation

j" ■=: axP dons laquelle a est une constante arbitraire.

56 couns d'analyse.

ÉQUATION BU PKEMIER ORDRE ET d'uN DEGRÉ QUELCONQUE.

CAS OU l'équation ne contient pas EXPLICITEMENT