Soit
ou, e
dy
,^n posant ;^=p,
une équation différentielle du premier ordre et d'un degré
dy .
quelconque par rapport à --• S'il est possible de la résoudre par rapport à -~-7 on aura une ou plusieurs équations du premier degré que l'on tâchera d'intégrer. 521. Si Téqualion se réduit à
et qu'on puisse Ja résoudre par rapport à p^ on aura plusieurs valeurs de p :
p — CL, p — rj!^ p — a'', ... ; de là les solutions
y := (xx ->- C, Y = ^'^ + C, . . . , compkises dans l'équation unique
On ne diminue pas la généralité de cette intégrale en admettant que la môme constante arbitraire C entre dans tous les facteurs : l'équation précédente peut alors s écrire
ou bien
résultai qu'on obtiendrait encore en éliminant a entre les équations
F(a) = 0, y z=zcx.x -h C»
Exemple.
on aura
d'où
j = du o.v -\- C.
ÉQUATIOKS QUI J\'E REJNFERMENT PAS l'uWE DES VARIABLES.
522. Supposons maintenant que l'équation diiïérentielle ne renferme pas j^ et qu'elle soit de la forme
Si l'on peut la résoudre par rapport à -— et en tirer
on aura j= \ f [x) clx^ et le problème sera ramené à une quadrature.
Exemples.
On en tire
dy dx
= dz I sjaxdx zzzzd^ — x sjux H- C,
on
(y— CY—-ax^=zo,
dy"^ , dy
-^ {a -\- x] — \- ax z=: o.
dx' ^ ' dx
On déduit de cette équation
dx dx. '
d'où les deux solutions
^23. Si l'équation ne peut pas être résolue par rapport à, p mais qu'on la puisse résoudre par rapport à x, on aura
d'où
ou
dy ~ pdx=p. df[p), y= fp.df(p)-^C,
on aura l'intégrale en éliminant p entre les équations (i)
et (2).
524. Si l'équation différentielle ne coniient pas x et qu'on puisse la résoudre par rapport à j, on aura
., , , <f(p) f'{p)dp
d'où
CAS OU L* ÉQUATION PEUT ETRE RÉSOLUE PAR RAPPORT A l'une DES VARIABLES.
52o. Si l'équation contient x^y et /?, et qu'elle puisse se résoudre par rapport à l'une des variables, j^ par exemple, en sorte que l'on ait
yz:zzf{.x,p),
on aura
djy ou pdx
dx dp
Si l'on peut intégrer cette équation, qui est du premier ordre et du premier degré, la relation chercliée s'obtiendra en éliminant p entre l'équation intégrale et l'équation j =:/(x, ^).
