Prenons pour exemple l'équation

qui ne renferme ^ et^ qu'au premier degré. On a

p dx — xf (p) dp +/ [p] dx -h (f' {p ) dp,

dx , /'(/.) ^'{p)

^P ' f(P) — P équation qui donne (51 d )

x = -e J Ap)-f LjJpLJ Ap)-P,nj^c IJ Ap)~p

En éliminant p entre les équations (i) et (2), on aura l'intégrale demandée. Ordinairement cette élimination n'est pas praticable, parce que l'équation (2) contient des fonctions transcendantes de p ; mais alors, en donnant à p une suite de valeurs arbitraires, les équations (i) et (2) détermineront les valeurs correspondantes de x et j'^.

527. Quand/(;>) =^p, l'équation (2) devient illusoire. Mais dans ce cas l'équation (i) se réduit à

(a) j^pa:-h^{p},

et en difTérentiant par rapport à x, on aura

pdx zzz pdx + xdp -[-- <i^' [p) dp y

d'où

dp[x + o'{p)] = o.

Cette équation peut être satisfaite de deux manières :

6o couîis d'analyse.

f/p == o, d'où p = C,

1° en posant

et, par suite, 2° en posant

(V) ^-hcp'(p)=0,

d'où, en éliminant p entre (oc) et (y), on aura

relation qui ne contient aucune constante arbitraire et qui ne peut être déduite de l'intégrale générale en donnant à la constante une valeur particulière.

C'est ce qu'on nomme une solution singulière