OO COURS D ANALYSE

D'abord y//7 =:=: o donne p = c, et, par suite,

, \ ac

l'inlégrale générale représente donc une infinité de droites. La solution singulière sera donnée par l'équation

Si Ton substitue cette valeur dans l'équation (i), on aura <(p np

éliminant /?, on aura

(3) x'+j'=:za\

Cette courbe est l'épicycloïde obtenue en faisant rouler un cercle dans un autre cercle de rayon quadruple. En effet, soient M le point de la circonférence mobile qui était placé primitivement en A, et K le point de contact actuel. On sait que KM est la normale de l'épicycloïde au point M^ et, par suite, que Mil est la tangente. Or, l'angle THK,

([ui, dans le petit cercle, a pour mesure - arc KM ou - AK,

aura pour mesure 2 AK dans le grand cercle. Doiic l'angle THK est double de l'angle AOK, et le triangle TOH est isocèle. On a donc OH = HT. Il résulte de là qu'on a également OH = HS*, et, par suite, TS = 2 OH = OK. Ainsi, TS conserve bien une grandeur constante.

UNE SOLUTION SINGULIERE REPRÉSENTE l'eNVELOPPE DES COURBES DONNÉES PAR l'intÉGRALE GÉJNÉRALE.

548. On a du remarquer que dans tous les exemples traités plus haut (542 et suiv.), la solution singulière était rciiveloppe des lignes représentées par l'iulégiale

QUARANTE-TROISIÈME LEÇOî<. 8l

générale. Nous allons démontrer qu'il doit toujours en être ainsi.

Soit

l'intégrale générale. Elle représente une suite de courbes dont Tenveloppe s'obtient (I, 247) en éliminant c entre cette équation et sa dérivée par rapporta c. Or, c'est précisément le calcul qui fournit la solution singulière. Le théorème est donc démontré.

On peut d'ailleurs établir ce théorème de la manière suivante. Par chaque point de la courbe A qui représente la solution singulière passe l'une des lignes B comprises

dans l'intégrale générale. Or, en ce point -—a la même

valeur pour les deux courbes A et B, puisque leurs équations satisfont toutes deux à l'équation différentielle. Donc les lignes A et B ont la même tangente au point (|ui leur est commun.

EXERCICES

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