TOUTE ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE ADMET UNE INTÉGRALE

549. Considérons iiue équation différentielle de l'ordre m résolue par rapport à la dérivée de l'ordre le plus élevé

cl'" y ( dy (iJY cl'"-' y

d'" y cl'"— ' Y

Cette équation détermine - - ou d -j-;;^-) quand on

dy cl'"~' y

connaît les valeurs dey^ ---j • • -7 ^7^7:1, pour une valeur

de X. On peut donc se donner, pour x = a, des valeurs

arbitraires b, b' b\, . . , U""-^"» A^r, ~L, L^,..^," Il , ' ' ' ' ^ ^ clv clx' dj/''-'

Maintenant, si Ton donne à x un accroissement dx^ les accroissements àej et de ses dérivées seront

cl y d'"—'' y

dy =z b' clx, d — - = b" cIjc. .... d — =: Z'('"~') c/j-,

clc dx'""^

et raccroissement de — — ^sera ensuite donné par Féqua-

tion (i).

On déterminera de même la valeur Ae j et de ses dérivées pour X =:::z a ^ idx^ X = « ~ 3 r/x , . . . . Ainsi, les valeurs successives de y sont déterminées, et, par conséquent, r dépend de x et des m constantes b^ b'^. . . , £(— 1).

5oO. On peut encore établir rexistence de rinlégrale, au moyen du développement de y en série. Eii différentiant Féquation (i), on obtiendra successivement

les coefFii

cients différentiels , ,-?

Clm^ly

de x^

dr

dx''"'

dx'"

ffm + i y

1 dr

' dx""

/ df

dx"'-''

Mais on a (I, 122)

( X Cl

(f (x) z= (f {a) + cp' [a) [x — a) -h <i^" [a] — — -—

Remplaçant o (x) par j^, Cj» («) par Z>,cp' [a) par Z>'. . , . , on aura donc

\,i>.,' in — I

On voit encore que la valeur de j^ renferme m constantes arbitraires.

En faisant a = o, on aurait le développement de l'intégrale suivant les puissances ascendantes de x : mais cetle valeur pourrait î-endre infinie la fonction, ou quelques-unes de ses dérivées, et le développement deviendrait alors impossible sous cette forme. Il vaut donc mieux conserver la série (2) sous sa forme la plus générale, en choisissant la valeur arbitraire a de telle sorte qu'aucune des fonctions ne soit infinie pour x = a.