Rcciproquemeiitj toute équation

(3) F[.r, j, c, c',....,ci"^-^)] = o,

qui satisfait à Véquation différentielle donnée, et qui i enferme m constantes arbitraires au moyen desquelles il soit possible de donner, pour x = «, des ^valeurs arbi-

traires b. b' . . . , b^'"~^^ à y -~-i • • • ? — — ~, est identique

à Vintégrale générale. En effet, si Ton détermine ainsi les constantes, on aura cjicore pour y le développement (2) puisque, Féqualion (3) satisfaisant à l'équa-

d"' Y r/"'"^' Y tion (i), les valeurs de -^> — — --•> - • - -, pour x= «, ne

dépendront que des valeurs b, b\ b" , • • • , b^'^'^K

CONDITIONS QUE DOIT REMPLIPi UNE ÉQUATION POUR ETRE l'intégrale d'uNE ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE DU m"""^ ORDRE.

552. Pour qu'une équation renfermant m constantes soit l'intégrale générale d'une équation différentielle du fjiième ordre, il faut que ces constantes soient Lien distinctes, c'est à-dire qu'elles ne puissent se réduire à un nombre inférieur à m. Par exemple, l'équation

semble contenir deux constantes arbitraires, mais en la mettant sous la forme

on voit qu'elle n'en renferme qu'une : elle ne peut donc pas être l'intégrale générale d'une équation différentielle du second ordre.

Pour s'assurer que les constantes renfermées dans l'équation intégrale sont distinctes, il sullira de chercher si elles peuvent être déterminées de telle sorte, que y et ses 77? — I premières dérivées aient des valeurs données

quelconques b^ b\. . . , b^'"~^\ pour une valeur donne'e à X.