On reconnaîtra de même que

j z= c sin a .r -f- c' sin a! x

est Tîntégralo générale d'une équation différentielle du second ordre; mais l'équation

(i) j =z csin (jc -h a) H- c'sin(:c -\- y! ) -\- c^'sin [x -]- o.")

ne peut pas être l'intégrale géiiérale d'une équation différentielle du troisième ordre, car on a

cIy

(2) -^ = ccos(.r H-a) +c'cos(.r + a') 4-c''cos(^ + «''),

(3) — ^ = — <:sin(.r-|- a) — c' sin {x -\- a') — c"sin [x -+- a.").

Or, il résulte des équations (i) et (3)

et, la valeur dej^ étant déterminée, on ne peiitpas donner

de valeur arbitraire à — ^' On voit d'ailleurs surTéqua-

lion mênie, en l'écrivant sous cette forme

j- rzz (ccosa -T- c'cosa' + r'^ cosa") sino;

+ [c sina H- c'sina' H- c" sina") coso:, OU

jr = A sin^ -h B cos.r, qu'elle ne renferme que deux constantes arbitraires A et B.

INTÉGRALES DE DIVERS ORDRES d'u^E ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE.

535. Une équation différentielle de Tordre 772 a pour intégrale une équation de la forme

(l) r[^,J, r,cS C",...,6(— >)]=:-- O.

Puisque les constantes c, c', . . . , r;^'""*) n'entrent pas dans l'équation différentielle, celle-ci ne peut se déduire de l'équation F = o qu'en la différentiaiit m fois, et élirainantces 77i constantes entre l'équation (i) et les 77/ équations différentielles ainsi obtenues. Or, cette élimination peut se faire de plusieurs manières.

Si d'abord on ne veut éliminer qu'une constante c, on pourra différentier l'équation F=- o, après l'avoir mise préalablement sous telle forme qu'on voudra, puis on éliminera c entre l'équation F = o et sa différentielle. On peut, en particulier, résoudre l'équation F ~ o par rapport à c, soitw^=:c, puis différentier cette dernière, ce qui fait disparaître la constante. En éliminant ainsi, tour à tour, chacune des m constantes c, c', . • • • ^^'"~^\ on obtient 772 équations différentielles du premier ordre dont chacune contient seulement 772 — i constantes. Ces équations sont dites des intégrales de V ordre m — i.