Pour éliminer deux constantes c et c', on peut

différentier deux fois de suile Féqualion F ^= o : on a ainsi trois équations

entre lesquelles on éliminera c et c^ . On peut aussi éliminer c entre F — o et dF = o, puis éliminer c' entre l'équation ainsi obtenue et sa différentielle. De quelque manière que l'on opère, on doit arriver à la même équation différentielle du second ordre-, car si Ton obtenait deux équations distinctes du second ordre, en éliminant

entre elles — ^5 on aurait une équation du premier ordre de la forme

En différentianl jn — 1 fois cette équation, on aurait

dr f/'"-' r

m — I équations entre x,J^-j-^'''-) . „,i et m — 2 constantes, c'est-à-dire plus d'équations que d'inconnues. On ne pourrait donc pas se donner les valeurs de j^

dr d'"-^ Y

jL . . — ± pour x= a.

dx dx'"-' ^

En éliminant successivement deux des m constantes,

on aura — équations différentielles du second ordre

contenant chacune m — 2 constantes, et qu'on nomme intégrales de V ordre m — 2. Trois intégrales de cet ordre peuvent remplacer l'intégrale générale, car on la repro-

duit en éliminant entre elles — - et —r— •

557. On pourra de môme éliminer un nombre quelconque de constantes et parvenir ainsi à des intégrales de l'ordre m — 3, de Tordre m — 4? etc. Si Ton élimine loules les constantes moins une, on aura ttz équations différentielles de l'ordrem — i qui serontdites des intégrales du premier ordre. Si entre ces ni équations on élimine les

,, . , clr (l'^y d""-^ y ..,

m — I dérivées -j-, -rV' " "> —, r' o" retrouvera lequa-

dx dx^ dx'"'^ ^

tion primitive F = o entre x^j^ c, c',.--? c^"'~'^K II suffira donc, pour intégrer l'équation

d'avoir les m équations intégrales du premier ordre.

558. Les intégrales du premier ordre permettent de déterminer les constantes c, c', . . . , c^"'~^^ en fonction

de :r^ j^, -y-5 • • • ) ^^^^ • Ln les resolvant par rapport aux constantes et en désignant, pour abréger, les dérivées

dejf par j^', j^V • -î J^'"~^N ^" ^"^'^ '^^ équations de la forme

c = ï[x,y,y',...,yi"^-^)] = a-

d'où

du du , du „ du <-/"' y

dx df-^ ^(r dj^"'-') dx"'~'

Mais

on aura donc

du du du du / ,m

Cette équation doit être identique, car autrement elle établirait une relation entre or, j',j', . . -, J"^"'~^^ et l'on ne pour rait plus se donner les valeurs dej-,j\ . . . ,jja ('"-*) pour X = a.

Ainsi, les équations du premier ordre étant mises sous la forme

toutes les fonctions «, ifj,..., satisfont à une même équation aux dérivées partielles.

QUARAKTE-QUATRIÈME LEÇCJî 89

USTEGRATTON DE L EQUATIOIV = W