APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES
572. Quelle est la courbe dont le rayon de courbure est en raison ini^'erse de l'abscisse P
L'équation différentielle du problème est (I, 257) :
dp 1 X
dx
en appelant— le produit constant du rayon de courbure
par l'abscisse du point correspondant de la courbe. On
déduit de là
n'dp 2 X dx r:= '■ ^ >
100 COLRS D ANALYSE.
et, en intégrant,
d'où
si a' — [x^ Bt, en intégrant de nouveau,
.r' -hc
Cette équation représente la courbe affectée par une lame élastique, quand une de ses extrémités étant fixée, l'autre extrémité supporte un poids : on lui donne, pour cette raison, le nom de courbe élastique.
573. Plus généralement, si le rayon de courbure doit être une fonctiony(a:) de l'abscisse, on aura l'équation
d'où l'on déduira
dp dx
dp dx
et, en intégrant,
P ÇA i-^p' J f{
dx
Cette équation , étant du second degré, pourra être résolue par rapport à p. Soit alors p =^ ^ (x), on aura
J =r i (jj [x) dx + c',
équation de la courbe cherchée, qui renferme deux constantes arbitraires c et c' .
574. Trouver une courbe dont le rayon de courbure soit proportionnel à la longueur de la normale cornpiise entre la courbe et V axe des x.
QUARANTE-CINQUIÈME LEÇON. , ^ j
L'équation différentielle du problème est
dx
n désignant une constante positive ou négative, selon que
la courbe est convexe ou concave par rapport à l'axe
des X (1,235).
En prenant j^ pour variable indépendante et rempla-
dp p dp
çant -^ par — r-? on aura ^ dx ^ dj
dy np dp ^ On tire de là
ou
donc
et en remplaçant p par — -•
(2) dx= :^
=\/ef-.
II suffit de prendre ce radical avec le signe +, car le signe — conduirait à la même intégrale.
Cette équation peut s'intégrer, d'après la théorie des intégrales binômes, quand n est un nombre entier, pair ou impair (î, 353 et 354).
Examinons les cas parliciiliers àe n —•- dz i ^ 7i =z dz 2. 1^71 = — I : réqualion différentielle (2) devient
et, l'intégration donne
Cette équation représente tous les cercles qui ont leur centre sur l'axe des x.
2° n = i : dans ce cas, où la courbe est convexe vers l'axe des x, on a
rdr
dx = :— r-rrrr- ',
et, en intégrant
