X -- c\ (j 4- sjy' -~ C) -\- k

Si l'on détermine k de manière que pour j- = c on ail X = c' ^ il faudra c[ue

c' ^=zc\c -\- k \ d'où

ce qui revient à

(a) j^^^:2Zrc^^ce ^ \

Mais

(7 -t- ^'' — (^'){y — sjj- — c') — c^; donc

En ajoutant membre à membre les équations [a) et (/3), on aura pour l'équation de la courbe

QUARAJNTE-CINQXJIÈME LEÇON. I 0.1

Cette équation est celle d'une chaînette. Par conséquent

le cercle et la chaînette sont les seules courbes dans

Fig. ii5. lesquelles le rayon de courbure soit égal

\ à la normale, avec cette difï'érence que

\'^ ces deux lignes coïncident dans le cer-

r,;\^/-^ cle, tandis qu'elles sont situées de part

\ et d'autre du point de contact dans la

N^ ^ cliainette.

Z^ n := — ^ 2 : on a l'équation diiTérentielle

dy cly Jcj ~ f

c!x-=z — -rl ? ou -,-=-

dx y

Or, celte équation représente (I, 249) une cycloïde p.^ ,,/^ dont la base est sur l'axe

des X, et dont le rayon du

cercle crenerateur est - • Un ^ 1

Y \ sait en effet que, dans cette

/ j courbe, le rayon de cour-

'^\^ " "" bure MK est 'double de la

\ normale MN.

4^ n = '2 : il vient

\Jcdy

dx := — --

d'où

cette équation représente toutes les paraboles qui ont l'axe des x pour directrice.

ÉQUATIONS HOMOGISKES.

575. On peut abaisser d'une unité l'ordre d'une équation différentielle lorsqu'elle est homogène par rapport à -y et à ses dérivées 5 soit

/ dy d"'y'

une telle équation, et soit n le degré de rhomogéiiéilé. On pourra mettre l'équation (i) sous cette forme dj d'^y d'"j\

Faisons

r=: pJ""^ If

dx "^

d y du

^Sudx

d.T.' \ dx

y ç,. (d'il du

dx^ \ cix' dx r

En substituant ces valeurs dans l'équation (2), on aura évidemment une équation différentielle de l'ordre m — i