Quand « et Z> dépendent de /, du désignant la diffé

. , , 11 du du du ^ 1 , • r -Il

rentielle totale de «, et -—5 — -, -— les denvees partielles da do dt *

de cette fonction, on a

du da du ,

du = — da -\ ~ dh -i. dt.

da du at

Mais

du d7i ~

donc

da db

(4) da--=-f{a,t)da-^f{h,t)dh + dt Ç ^L^JlJ} dx .

Interprétation géométrique.

4o3. Soit CD la courbe dont Téquation est, en coor- ^'S- 'o6- données rectangulaires,

it Si OA = a, OB =;: hfon aura

« m / f[x, t) dx z=z aireAGDB.

^ ^' ^ Donnons à t l'accrdissemcnt infiniment petit <i£ : a et Z> qui sont des fonctions de t reçoivent des accroissements AA'=c/ci, BB'=db, En même temps la courbe CD se change en une autre courbe EH infiniment voisine, et l'on a

Jn b-i-dh I /(.^,^H- dt)dx — aire A' QllB'.

da

Mais

aire A'GHB' = AEFB - AEGA' -h BFllB'

donc

du = A'GHB'— ACDB r= (AKFB — ACDB) — AEG A'-|- BFHB',

ou, en négligeant des infiniment petits du second ordre,

' f (.r, t + dt) dx - / / (.r, t) dx a *'a

~f{a,t)da-i-/{b,t)db;

et enfin

du = dt Ç ^:pJl dx—/{a, t) da ~f-f{b, t) db.

DIFFÉREJNTIÂTION d'uNE INTÉGRALE INDÉFINIE, PAR RAPPORT A UN PARAMÈTRE VARIABLE.

454. Soit u l'intégrale indéfinie de f {jo, t) dx^ dans laquelle t désigne un paramètre variable qui ne dépend pas àex'^ on peut, sans rien ôter à la généralité de cette intégrale, l'écrire sous la forme

«= / /(-^^ t]dx+-h{t), J a

tf/ [l) étant une fonction arbitraire de t. Différentions maintenant par rapport à t, en su|)posant que t ne dépende pas de a : nous aurons (45! )

du dt

mais comme '^' [t) est une constante par rapport à x, le

second membre revient à l'intégrale indéfinie de -- dx. et

^ dt

l'on peut écrire

du rdf{x,t

(^' di=J —di-

Idx

Ainsi, pour diffcrcnlier une intégrale indéfinie , par apport à un paramètre i-^ariable, il suffît de différent

6 COURS DAKALYSE.

lier, par rapport à ce paramètre, la fonction placée sous le signe 1 •