Lorsque l'équation

f(r) =: /■'•■' + Pr'"-' -f- . . . 4- T/--f- U — o a des racines imaginaires, la formule

yz=z Cl <?'■» * -f- c-^ t''"^"^ -T- . . . -h c„j c''"''

représente encore Tinlégrale générale, mais elle renferme des imaginaires. Pour mettre l'intégrale sous une forme réelle, observons que les racines imaginaires doivent être

(*) On pourrait aussi démontrer ce résultat en observant que le dénominateur commun des valeurs des inconnues Cj , c„, Cg,. .., Cm , dans les équations (C), est égal au pi'oduit de toutes les différences des quantités /•,, Tj, Tg,. . . , prises deux à deux, produit qui n'est pas nul, puisque aucune de ces différences n'est nulle.

coiijugées deux à deux si P, Q, . . . , T, U sont des quantités réelles. Soient donc

rj =: a + 6 ij— I , r, = a — 6 V^~, on aura

= e''^[{c, + c,)cos^x -h v/^(c, — C2)sin6^], ou bien

Ci^''^^ H- c,e''^^ = (Acosêx -h B sin ê j: ) c^-^,

en posant A = Cj -f- Cg, B =: (ci — Ca) \/^^ : A et B désignent des constantes arbitraires que l'on peut toujours supposer réelles.

On peut encore écrire la somme des termes qui correspondent à deux racines conjuguées sous cette forme

cc^'-^sin (g^ + c').