Lorsque l'équation

(i) ^w -1- P/"'-' -f- Qr'"-^ -f-. . . -}-T/'H-U ^o

QUATA^'TE SIXIÈME LEÇON. Il3

a des racines égales, les leriiies correspondants à ces racines dans la formule

se confondent en un seul, et oii n'a plus riiitégrale géné- I aie, puisque le nombre des constantes arbitraires est inférieur à m. On peut cependant déduire de celte même formule Tintégrale générale en considérant d'abord les racines comme ayant une dillérence qu'on rend nulle après avoir fait subir à rexpression une transformation convenable.

Pour faire comprendre ce procédé par un exemple trèssimple, proposons-nous de déduire l'intégrale j ~=z\x

de Tintéc^rale / x'"dx = h C, qui devient illusoire

quand m =z — i . Posons m ==: — i 4- /z -, nous aurons

Maii

donc

;^,=c + 1 + ixH- A (,,.,, ^.^(,,)3

et, en représentant C + y par c,

Donc, si l'on fait h=^ o, on aura

dx

586. Revenons maintenant aux équations linéaires, et supposons i\=-i\. On peut altérer infiniment peu les coefficients de l'équation (II), n*^ 579j ^e ii:wînière que Stuiim. — A 11.^ IL 8

ii4 COURS d'analyse.

l'équalion (i) /(^O = o n'ait plus de racines égales. Alors

on a i\ —^ i\ -i~ II, et

j — C. <?'■' ^ + C2 ^'•i^+''-^ -f- C3 (?'-3^ -4- . . . H- r„ e'-"'^, ou

j = (C, 4- Gj e^'^) f^'-' -^ -f- ^3 e'-'^ -f- . . . H- r„, c''"'^

=r ^'-1^ ( C, -f- C2 -^ C/ia: H- C, — .r^ -f- . . . \ - -1.2

OU bien, en posant

C, -;-C:==c, C,/i — c', on aura

-i- C3 e'-3 ^ -f- . . .-+- Cn,C''n',;

celte valeur de y satisfait à l'équation différentielle quel que soit h. Donc, en faisant h = o, on aura

(3 ) jrz=z c''''=(c ■+- c'x) -h C, t''"^^ -f- ... H- (■„, e'"'"^,

expression qui renferme ni constantes arbitraires distinctes quand /'j, 7-3, T;,,. . ., r,„ sont des racines différentes.

Quand trois racines sont égales, on suppose d'abord l'équation modifiée de manière que deux racines seulement soient égales, ce qui donne à l'intégrale la forme

y =z c'^-- (C H- Cx) + C3 e-'^M- C4 e'-^^ H- . . . H- C« e''n^. '

Puis, supposant r^ = i\ -f- A, on aura

-f- c^ e^'-^-r • . . -T- c„, c'''n^^ OU, en posant C -i- C3 == c, C'-l- Cg h = c', ^^— :i=r c" ^

équation qui devient, pour h ■=■ o,

QUARAKTE-SIXIÈME LEÇON. Il5

Ou trouverait, de la même manière, que si la racine 7\ était quadruple, il faudrait remplacer les termes qui s'y rapportent par

e''"^ (c -h c' x -]- c" x" -h d" nâ), expression qui renferme quatre constantes aibiuaiies.

deuxiè;me méthode.

587. Lemme. u et V étant des fonctions de a:, si l'on cherche les différentielles successives de m^-*, on arrive par induction à la formule

d"[uv) = ud^v -^ ndud"-^u + -—- d^u d"-^v -f- . . •

-h n <i"~' u d\> -f- i>d"u, OU à la formule symbolique

d"u(> z= [du -f- c?p)("),

en remplaçant dans le développement du second membre les exposants des puissances par des indices de différentiation, et en admettant que d^u = u.

Pour faire voir que cette formule est générale, il suffit de montrer que, si elle est vraie pour l'indice «, elle est encore vraie pour l'indice w-hi . En effet, soit JxdPud"~^W un terme quelconque du développement de d"LH^. On aura

d"iw=\ kdPud"-Pv.

De là on tire

£/"+> iwz=\ ( /- dP-^'u d^-P V -h h dPu d"-P-^^ v),

OU, sous une forme symbolique,

r/"-<-' uvzz=\ /,- duP di^"~P ( du -^ d(^) = [du -^ du)\ /c duP r^"-/'. Mais, par hypothèse,

\ /■ duPdi>"~P — ( du + d(^)(") ;

ii6 COURS d'analyse,

011 aura donc

rZ"-*-' av = [du -+- du)[du + di>'p^ =z [du -f- <'/(>)("+'),

ce qu'il fallait démontrer. On démontrerait de la même manière la formule plus générale

d"{ uv. . .z]z= [du ^ dv -\-. . .-^ dz)("K