X-^zdx
La valeur cle z con tenant déjà une constante arbilrairv^, la valeur de j ou Ci ji -h C2J2 -h C3 jg en contiendra quatre. Ce sera donc l'intégrale générale.
598 Si l'on ne connaissait que /// — 2 intégrales particulières de l'équation (II) (594), on serait ramené à l'inlégration d'une équation linéaire du second ordre. En effet, soient j^ et y^ les intégrales cotmues de l'équation (II) (597) supposée du quatrième ordre, ei représentons par
l'intégrale cherchée 5 comme on ne peut établir entre C^
et C2 qu'une seule reialion arbitraire, exprimons que -
a la même forme que si Cj et Cg étaient des constantes. Les fonctions C^ et Cg seront déterminées parles équa tions
ax
dC, dC,
dx- dx dx^
G, H,. . . , étant des fonctions de x. De la première on
déduira - -— * ~- X2 -~ -> et substituant dans la seconde, on
dx dx '
aura une équation où Ci nVnitrera que par ses dérivées
dC, r/ = C, r/3C, ., , f/C,
—j- ■) -7775 -yj • Alors, en posant —— =^ z, cette équation
prendra la forme
d-z dz
Stuxm. — An.^ II.
i3o COURS d'akalyse.
Cette dernière équation étant intégrée, on aura
Cl ::=: Cl -4- \ zdx,
(M) 111 te
^2 -r- / X:, 2 Clx,
Comme z renferme deux constantes arbitraires, on voit bien que Cj j^i -h C2J) 2 en contiendra quatre.
599. En général, si Von connaît n intégrales distinctes de r équation linéaire privée de second membre^ on pourra ramener V équation complète à une équation linéaire du [m — /z)'^'"^ ordre.
La démonstration de ce théorème général est suffisamment indiquée par ce qui précède : c'est pourquoi nous nous bornerons à examiner le cas particulier où Ton ne connaît qu'une seule intégrale j'"! de l'équation (II). Nous poserons alors
et, en exprimant que cette valeur de j est une solution de l'équation (I), nous aurons
les nouveaux coefficients P^,. . ., Ti se formant comme on l'a dit n*^ 589. En posant
dx
l'équation (i) se réduit à
équation différentielle de l'ordre ni — i. Ainsi, l'ordre de l'équation proposée sera abaissé d'une unité. L'équa-
QUARANTE-SEPTIÈME LEÇON. l3l
tion (2j éuiit intégrée, on aura
C, = rt -I- lu dx ^ et, par suite,
yz=j.oy, H-j, \ udx.
La valeur de M contenant [m — i) constantes arbitraires, celle de/ en contiendra ///: ce sera donc l'inlégrale générale.
