AUTRE MÉTHODE

600. Le cas particulier que nous venons d'examiner permet de démontrer le théorème général énoncé plus haut (599), et fournit une autre méthode pour abaisser l'ordre d'une équation linéaire. En efî'et, appliquons le même procédé à l'équation

Soit Wi une solution particulière de Féqualion

dx'—^ ~^^' Tb^^ -i-...-HT, M = o.

En faisant

dx

z dépendra d'une équation linéaire de l'ordre m 2,

et l'on aura

u = ùui -h «, / zdx, et, par suite,

J = «7. -:- ^j, / M, dx -;- j, / w, dx I zdx,

l32 ' COURS d'analyse.

oir

en faisant

La fonction désignée ici par 7 2 satisfait à Téquation

car si l'on suppose V nulle, on peut prendre z = o, et par conséquent f ==r: o, ce qui réduit j à aj^ -f- hj^^ expression dontja est une valeur particulière.

Pwciproqucmenl ,Oï\ trouvera une fonction telle que Wj, . si Ton connaît une fonctionj)^25 ditTérente dej^i, qui satisfasse à Tcquaiion (3). Il suffira, en effet, de prendre

dx'

puisque u =■ —r-- se change en u^ si V ;== o, et qu'alors

j^ est une valeur particulière de j^.

L'équation en z étant de l'ordre m — 2, on cherchera une valeur z^ qui satisfasse à l'équation

et l'on aura

z =z CZi -f- 2

en faisant i ^^ —t^-) d'où dx

J — (^ïx + by-i -f- ^^3 4- 9 ,

j 3 étant encore une solution particulière de l'équation (!''), et ainsi de suite.

QUAEAKTE SEPTIÈME LEÇON. 1 !5 3

On pourra dor.c abaîsscr Tordre de Féqualion (I) (o9i) d'aillant d'unités qu'on connaîtra de solutions particulières de l'équation (3), et l'intégrale générale de réquation (I) sera de la forme

/ étant une solution quelconque de l'équalion (I).

L'équation linéaire n'admet pas de solution singulière, puisque la solution quelconque j- ^^ ^^ se déduit de l'intégrale générale en faisant nulles les constantes «, />,... /.

DE QUELQUES CAS OU l'oN PEUT IJVTÉGRER l'ÉQUATION LINÉAIRE A SECOJND MEMBRE.

601 Si dans l'équation , , d"'Y (i"'~W dy

P, Qi-v U, V sont des constantes, on fera y:=.---\~ z^ et on aura

d"*z ^ fl?'"-' s dz

h P h...-hT--H-lj3 — o,

dx"" d.i"'-' dx

équation que l'on sait intégrer.

602. Les coefficients du premier membre de l'équation (i) étant supposés constants, si V est une fonction entière de x^

Aa" H- Bj:"-' 4- . . ^- Gx H- il , on posera

j ■=. ax'* -t- bjc^~^ -\- , . . -{- gjc -\- h z=: Il ^

et l'on déterminera a, ^,..., g-, h^ en exprimant que cette valeur satisfait à l'équation proposée, ce qui formera autant d'équations qu'il y a d'inconnues. Une première intégrale étant ainsi obtenue, on posci aj)^ =: u-^- ^^ el ^ ne dépendra que d'une équation linéaire à coefficients constants, et privée de second membre.

l34 COURS DAKALYSE.