Si

V =: A cosnx -f- B sin nx ,

A et B étant des constantes, ainsi que les coefficients du premier membre de l'équation (i), on fera

y = û cos//.r H- b sin n.x ,

ce qui réduit l'équation (i) à

(<7 G -f- b U) cosnx H- (<7K -f- b L) sin r?x = A cosn.T + B sin «.r ,

G, H, K, L étant des fondions de Ji et des coefficients de l'équation. Pour que l'équation soit satisfaite, il faudra qu'on ait

nG-h bH=zA, aK-hbL = B,

ce qui détermine a et ^, à moins que GL — HK ne soit nul. L'intégrale générale sera

j- = acosnx -h bsinnx -\- z,

z étant l'intégrale générale de l'équation

d'"z d'"-^z dz

dj(f' dx'"-' dx

604. La métliode précédente est en défaut lorsque GL — HK = o. Dans ce cas, l'intégrale doit avoir une autre forme qu'on trouve par un artifice de calcul dont voici un exemple. Soit l'équation

on ne peut y satisfaire en posant

y •=z a ces J7 H- è sin jk , car on trouverait

— a cosor — h sinx -|- a cos^ -\- bhi'O.xzn cos.r, ou

o = cos.r, équation qu'il est impossible de rendre identique.

QUAHANTE-SEPTIÈME LEÇON. l35

Mais si l'on prend l'équation plus générale

(2) -—•- -hj = cos«a:,

en posant y = a cosnx -!- b sinnx^ on a

a{i — n^) cosnx -\~ b{ï — n^) sin/?.r = cosnx,

d'où

a =z ) b=zo,

ce qui donne la solution particulière

cosnx

1 — n' D'ailleurs, l'intégrale générale de l'équation

est (384)

y = CcosJi: -f- C'sinr; la valeur générale de j^ sera donc

cosn.x ^ ^„ .

r = h C cos.r -]- U sinx.

Celte valeur deviendrait illusoire si l'on faisait n ~- i ;

mais on peut écrire, en posant C = C^' — -^?

cosn.v — cos.r .

r =: h C cosj: -f- C sin.r.

Faisant n = i, le premier ternie prend la forme --5

mais sa vraie valeur est — ^ 1 donc l'intégrale générale

de l'équation (i) est

.rsin.r .

Y = H- G sm.r -f- G Cos.r.

6O0. On obtient encore la valeur dej^" en remplaçant n

i36 couTis d'analyse.

par I — /z, et posant ensuite h ~ o, après avoir fait subir à l'intégrale une transformation convenable. On a d'abord

C()s(.r — hx) X == -y-7 — ~T'\ "^ G cosx -^ C sin x ,

ou bien

.r [r . cos//.r "1 r siii//,r H .

r = C -{- — — cos.r -I- G' -i- — sin jc.

En développant en séries coshx et sin/zx, il vient ou bien, en posant C" = C -:-

+ C' -I — — -~ -!-... sin.r

Si maintenant on fait h =-. o, on retrouve encore

.rs.n.r , .

X — h C'sm^ H- G' COS. 2^.