T («^ -i- ^) ~ -h Uj == o

P, Q, . . . , T, U étant des constantes.

Posons JK= {ax -\- hy^ substituons cette valeur dans l'équation (i), et supprimons le facteur [ax -i- (6)'" commun à tous les termes, nous aurons

Îr[r — \)[r — 2). . .{r — m 4- i) a"' H- P .- (/• — 1 ) . . . ( r — w + 2 ) a"'~' -{-... H- U = o.

Celte équation, étant du degré ?72, donnera, en général, ni valeurs constantes et inégales pour r\ en les désignant par j\ , /v, . . . , r„,, les expressions (^'X-h /?)'"', (a.r + è)''°-, . . . , [ax -T- i>Y"' seront des solutions particulières de l'équation (1), d'où l'on déduira l'intégrale générale

j — C, (^.cr + ^l-"' -\- C, {a.T -{- by--^...-{-C„,{a.v-{- ùy-».

Toutefois, la forme de celte intégrale serait modifiée si quelques-unes des racines étaient égales ou imaginaires. Il faudrait alors se servir de procédés analogues à ceux que l'on a employés aux n^^ 004 et OOo.

Au reste, on 1 amènerait l'équation (i) à une équation linéaire à coellicients constants en posant ax -i- h = e'.

i38 COURS d'analyse.

PROPRIÉTÉS DE l'ÉQUATION DU SECOND ORDRE,

608. Quand on connaît une intégrale particulière j^j de l'équation

d""- r dy

les procédés des n^^ 597 à 600 permettent de l'abaisser au premier ordre, et, par suite, de l'intégrer complètement.

On peut encore opérer de la manière suivante.

On a, par hypothèse,

dx^ dx

Eliminant Q entre les équations (i) et (2), il vient

et, en posant

dy dyi ., d^ y d"^ y^ du

Féquation (3) devient

, , , du

dx ,

d'où, en intégrant,

On aura donc

(5) r/]L-/iZl^c^S^^^,

dx dx

ou

y Ce-S^^'dx d —■==. : • :

et enfin,

re-S'^d-'dx

(6) j = C'j.-hCj.j —JT—

QUARANTE-SEPTIÈME LEÇON. iZg

G09. L'équaiion (5) fait connaître plusieurs propriétés de réqnalion

(Lv^ a.c

La constante C n'étant pas nulle, en général, supposons C ^> o : on aura

il) r<- — r— ->û;

au; djc

par conséquent, la lonction j et sa dérivée -f- ne peuvent

pas être nulles en même temps.

La même propriété appartient aux lonctions j^ et — -•

Deux valeurs de x qui annulent y^ comprennent une valeur de x qui annule y. En effet, si 7, s'annule pour x = « et pour a:-- h^ on a dans ces deux cas. d'après l'inégalité (7),

Ad)\ , . . . ,

insi, j'- et —— sont de signes contraires 5 mais quand x

^ j ^ 7 dy\ , T .

croit de a a /?, ~— change de signe pour une certaine valeur :r=r=a- donc j^ doit aussi changer de signe avant que X ne devienne égal à h. Par conséquent, la fonction j^ s'évanouit pour une valeur de x comprise entre a et h.

De même, entre deux valeurs de x qui annulent j^ se trouve une valeur qui annule y^.

Il suit de là que si l'on fait croître .r, les deux fonctions y et y^ s'annuleront, l'une après l'autre, allernativemcnt. C'est ce qu'on peut vérifier sur l'équation

dx-

qui a pour intégrale

y r— C sin^ -f- C cos^'.

l^O COURS D ANALYSE.

EXERCICES

* * dx-

boLLTION :

SOLUTION : J V.C -1- v^ ^

7(7''^ dx^ -^ (n-<^0

*^ i[i-^ X) 1 J [\-^- xf

QUARAKTF.-HIJITIÈME LEÇON. l4l