RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES PAR LES SÉRIES

Développement par la série de Maclanrin. — Méthode des coefficients indéterminés- — Autre forme de développement. — Intégration d''Line équation difTérentielle par des intégrales définies.

DÉVELOPPEMENT PAR La SÉRIE DE MACLAUÏÏIN.

610. Étant donnée une équation entre y et quelquesunes de ses déiivée's par rapport à x, on peut, comme on l'a vu (550), développer 7 en série procédant suivant les puissances ascendantes de x — «, et ce développemeni contient j?i constantes arbitraires, qui sont les valeurs de j' et de ses m — i premières déri\ées pour x = a. En faisant a -~ o, on obtient une séi ie ordonnée suivant les ])uissances ascendantes de x. Mais il peut arriver que certaines dérivées devenant infinies pour x = o, la série soit en défaut, à moins qu'on n'attribue des valeurs converiables à d'autres dérivées qui ne sont plus atbilraires. Dans ce cas, la série contenant moins de m constantes arbitraires ne représente plus l'intégrale générale, mais seulement une intégrale particulière.

En voici un exemple. Soit

X — '■ 1- 2 — — i- n-xr =z o.

d.rr df

En différentiant cette équation plusieurs fois, on aura