X -— -h 3 — — 4- n-x V- n jr=zo

dj:^ d.r.'- dx

d^ Y , d^r , d'Y ^ dy

dx'' dx'^ dx^ dx

dx^ dx'' (ix-^ dx-^

La loi de formation est évidente. Or, si dans l'équation proposée on fait x =^ o, j =:z b, j- = b', il en résultera

— '- :=:; co , à moins que b^ ne soit nul. Il faut donc faire

~ :=zo pour X ^^o, et alors les équations dérivées suivantes donnent

'd^~ 3~' 'dx^^^' ■^~~5~'"*'

et, par conséquent

JiX

OU, en taisant - ^m: c, n

?A rt w r

On n'obtient ainsi qu'une intégrale particulière. Pour avoir l'intégrale générale, il faut poser

S"!n nr

C désignant une fonction de x. La reclierche de cette fonction conduit à une équation linéaire du second ordre,

d'où l'on déduit

C = c' + c" cot nx, et, par suite,

e' «in rj-y - r" cos/?r

On serait parvenu tout d'abord à ce résultat si l'on avait développé j^ suivant les puissances de x — a^ en se donnant les valeurs de j^ et de — pour x ~~ a.

u,X MÉTHODE DES COEFFICIENTS INDÉTERMINÉS.

611. On peut encore employer la méthode des coefficients indéterminés pour développer en série l'intégrale

QUARANTE HUITIEME LEÇON. j43

d'une équation différentielle. On obtient souvent par ce moyen des développements qui renferment des puissances négatives de x, ce que ne peut donner la série de Maclaurin.

Reprenons l'équation différentielle du numéro précédent, sous la forme

(P Y 1 dy

Supposons que l'intégrale soit

(2) j = A^^ -;- Bx^ -f- Cx^ H- > . . ,

a, ê, y, . . . étant des nombres croissants ; on aura

^ = a (a — i) A.r^- -^ -i- 6 (6 — il Ba;^ "^ ^ . . . , dx-

et la substitution de ces valeurs dans l'équation proposée donnera

l Aa(a + i)x^-^-f-A«^x^'--hBg(S4-i).r^-'

( H-B/z'^x^+ €7(7 -\-i)x^~^-^Cn-'x^-^. . . = 0.

Pour que cette équation soit identique, il faut que les coefficients des différentes puissances de x soient nuls séparément. Or, puisque c:, ê, 7. . . sont des nombres croissants, a — 2 est le plus petit exposant de x dans l'équation (3). On doit donc avoir

Aa(a -1- i) = o,

et, comme A ne peut pas être nul, il faut qu'on ait

ar=ro, ou a = — I.

Prenons d'abord a -- — i. Les deux pi us petits exposants

i44 COURS d'akalyse.

qui viennent ensuite sont a et 6 — -2. Ils peuvent être égaux ou inégaux : s'ils sont inégaux, le terme Bê (o-j-i) j:^"~^ ne pouvant se réduire avec un autre devra être nul de lui-même, ce qui donnera 0=^0 ou Q = — j. Mais on ne peut supposer § = — i . puisqu'on a déjà a =■■ — i , et que a est supposé moindre que ê : donc ê = o. Parmi les exposants qui suivent, les plus petits sont a et y — 25 nous devons les supposer égaux, car le terme An^x^- doit se réduire avec un autre, puisque A ne peut être nul. De là résulte

On trouvera de même

c :— 3, Cn' -h E g ( s -h i) -== o, et ainsi de suite*, il en faut conclure

ApJ

Par

' conséquent.

rf\x'-

A COS/TX

R si n nx

bien, en posant A

ccoîif7x -+- c' s'mn.r