Désignons par A et B les valeurs de z et de
correspondant à une valeur arbitraire x=^a. Nous aurons, en intégrant deux fois de suite, entre les limites a et ;r, les deux liiembres de l'équation (4) :
dz r^
dx I B.zdx; OU bien, en posant frn: A-f- B (x — a),
dx l Rzdx»
Si, dans le second membre de l'équation (5), on remplace z par la valeur que donne cette même équation, on aura
/ + / dx l R tdx
/ dx \ R,
J/^ X rtx rtx r*x
dx I Vvdx I dx j Rzdx, a J a *J a *J a
QUARANTE-HUITIÈME LEÇON. l47
et, en remplaçant encore z par la valeur (5),
dx j Rtdx -{-■ j dx / RrZr / dx / Rtdx
a J a Ja *-' a *^ n *' a
Jr*x r»x r»x r*x r* X r^x
dx j Kdx dx l Rdx I dx j Kzdx.
615. En continuant ainsi, on obtient pour la valeur de z^ une suite indéfinie
= t -[- j dx j Rtdx
dont chaque terme, à l'exception du dernier, se déduit du précédent en le multipliant par RJx^, et en intégrant, par rapport à x, deux fois entre les limites a et x. Le dernier terme §e forme d'après une loi analogue, mais il contient toujours la fonction inconnue z. Cependant, le développement (8) pourra servir au calcul de la valeur approchée de z^ si, à mesure que le nombre des termes augmente, le dernier tend vers o. C'est, en effet, ce qui arrive quand la fonction R ne devient pas infinie dans l'intervalle où l'on fait varier x.
Pour le démontrer, supposons que x croisse d'une manière continue depuis la valeur a jusqu'à une valeur quelconque h. Soient M, pt, C les plus grandes valeurs de R, z^ ty dans l'intervalle considéré. On aura, en valeurs absolues,
R<M, 2<fx, ^<C;
le signe <^ n'excluant pas l'égalité. Si l'on trouve pour p. une valeur finie, il sera démontré que z ne peut pas devenir infinie entre les limites a et b.
Or, en premier lieu, on a, dans cet intervalle,
R^<G]M, donc
XX rt X
Kidx<: / CMdxj J a
lO.
i48 couplS d'akalyse.
bu
/ Rtdx<CCM{a:—a).
Bf^ là on tire, en intégrant successivement :
J^^ r^ (x — nVdx \ Vxtdx < CM -
j dx j B.dx I dx j Ktdx<,C^V ^ -^
J a J a J a ^ a . • . if
^x px ^x ^x ^x ^x ix — a
j dx / Rdx / dx / Vvdx / dx / Rtdx<CCW 7
*/a J a Ja J a J a J a
et ainsi de suiie.
D'un autre côté, on a
/ Rzfi?jc<^ pM ( J7 — fl),
C" C" {x~aY
/ dx / ikzdx<: pM ^ -5
I dx j Rdx j dx j Rzdx<Cl^'^^'- -/"î
Ja Ja J a J a 1 ... 4
et ainsi de suite. Donc, en arrêtant le développement de k
5 ji -h I termes, le dernier sera moindre que ft M" ■-
D'après ces inégalités, on déduit de l'équation (8)
f.r — aY ^,, (^ — nY
5<C-f-CM^ ^-l-CM^-^ ^,- +...
H- GM«-' ^ '- ; -f- i^ M« -^ — ,
