Supposons, pour fixer les idées, que Ton ait trois

équations différentielles simultanées du premier ordre

entre une variable indépendante x et trois fonctions y,

z, u de cette variable. On pourra, en général, résoudre

1 , . , dy dz du. -, ces équations par rapport aux dérivées — ? — , — et les ' ^ ^^ dx dx dx

remplacer par des équations de la forme

p, Q, R, V étant des fonctions déterminées. Le problème proposé revient donc à établir entre les variables ^, j^, ^5 II des relations telles, que les différeniielles de ces variables soient proportionnelles aux fonctions P, Q,

Je dis maintenant que les relations chercliées doivent contenir trois constantes arbitraires. En effet, les équations (1) déterminent seulement les accroissements infiniment petits des variables j^, z, :^ pour un accroissement *Tifiniment petit de x. On peut donc prendre à volonté les valeurs de y, z, et u pour x=a. En raisonnant comme on l'a fait dans le cas d'une seule équation différentielle (54-9), on voit que j)^, z et u sont des fonctions

dz R du

dx" 1^^ dx~

dx

dj dz du

l6'0 COURS d'anal ÏSE.

déterminées de x, dépendant nécessairement de leurs valeurs initiales, qui sont tout à fait arbitraires. Les équations intégrales doivent donc contenir trois constantes arbitraires. Ces constantes peuvent d'ailleurs èive remplacées par d'autres ayant avec elles des relations arbitraires, pourvu qu'on puisse déterminer les nouvelles constantes de manière que j^, z et u aient des valeurs données correspondant à une valeur donnée de x.