DÉTERMINATION DE L INTÉGRALE

/ srn"

xdx.

457. On peut déterminer une intégrale définie quand on connaît l'intégrale indéfinie-, mais il y a souvent des simplifications. Ainsi, quand on a

l f[x)dxz= ,^[x) -\- i-^(x)dx,

il en résulte

C f[x)dx=:^[b)~~-^(a)-^.~. f •^(x)dx, *J a J a

et si t|^(a:) est une fonction plus simple que f{x), l'intégrale cliercliée sera ramenée par cette formule à une intégrale plus simple.

Soit, par exemple, l'intégrale

u,,z= j sin'^xdx,

En intégrant par parties, on a |sin"^c('x= I sin''-''.rf/( — cos.r)

=z — sin"""' X cosx -\- [n — i) j sin"~^r cos^xdx;

8 COURS d'awalyse.

ou bien, on remplaçant cos'a: par i — sin^.r,

1 s'in" xclx = — sin"~' x cosx ~\- {n — i) / s'm"-^.ri:ix

— [n — i) / sln^.rdx.

De là on tire

r î . n — iT,

Intégrons maintenant entre les limites o et -5 et observons que le premier ternie du second membre s'annule à ces deux limites, Ji étant plus grand que 1 : il viendra

Soit n un nombre pair : nous aurons successivement n — 3

llo — / a'.

Si l'on multiplie toutes ces équations membre à membre, il vient

224^ fi

En cbangeant // en Ji -\- i dans la formule (i), on aura

TIIEKTE-SEPTIEME LEÇO.N.

cî ensuHc

lln-Z ,

Ifn-,

lln-l-,

iti =z j sin

OTf/j:

En multipliant toutes ces équations membre à membre.

on aura

458. La formule (i) ne peut plus servir à la délerminalion de u„ quand Ji n'est pas un nombre entier; mais on peut l'employer, dans ce cas, à réduire l'indice audessous de l'uni lé.

Dans tous les cas, en faisant j^ = sinjr, l'intégrale

s\n"xdx

o se ramène à la suivante

qui est algébrique.