Soit

. . dx dr dz du

un système d'équations simultanées. Nous avons vu qu'il

SiLtiM.— An.^ il. I j

l62 COURS d'analyse»

existe trois équations intégrales,

j F, [x, y, Z, M, c, c\ c") r- o, (2} < F, (x, jr, z, u, c, c', c") = o,

{ Fa (■:*•, J, Z, u, c, c', c'')=0,

c, c', c'' étant des constantes arbitraires. Ces équations, résolues par rapport aux constantes, peuvent être remplacées par le système

(3) az=C, g:^r', y=r.c'';

a, S, y désignant trois fonctions de x, y, z et m, sans constantes arbitraires. On peut donc trouver trois fonctions de x^j^ z^ Il qui conservent des valeurs constantes quand on y fait varier simultanément toutes les variables. ^

Remarquons d'abord que les fonctions P, Q, R, V ne peuvent pas être, à la fois, identiquement nulles, car les équations (1) n'offriraient alors aucun sens.

Admettons que P ne soit pas identiquement nul, et prenons x pour variable indépendante. Je dis que P ne pourra pas même s'annuler constamment en vertu des équations (3). En effet, l'équation P =:= o ne renfermant pas de constante arbitraire, on ne pourrait pas se donner à volonté des valeurs de j)^, ^, u pour une valeur quelconque de X.

Supposons donc P différent de o. En différentianl l'équation a ==: c, on a

doL , du. , de/. , du.

{k\ — dx -! dy -1 — « z H -~ du =z o .

^^'' dx dy -^ dz du

Mais a ;= c étant une intégrale des équations (i), k\^ différentielles dx^ dj , dz, du doivent être proportionnelles à P, Q, Pt, V ; on aura donc

da. drjL da. ,^ dot.

(5) P 4.Q -HR -4-V— r=o.

^ ' dx dy az du

QUARANTE-NEUVIÈME LEÇON. l63

Cette équation doit être identique -, autrement elle établirait une relation entre les variables x,y, z et w, et Ton ne pourrait pas donner des valeurs arbitraires à y, z, u pour une valeur particulière de x.

On aura donc les trois équations identiques

^ dot. ^ dx ^ fl'X ,^ rlcc , d^ ^d?. ^ d^ d^

^ ^ da: df dz du

dy ^ dy ^ dy ^^ dy \ dx df dz du

630. Réciproquement, si Von trouve une fonction 0 des variables x,/, s» //, sans constante arbitraire, telle, nue Von ait identiquement

' dx df dz du

dO dO „ d() dfi

Véquation

sera une intégrale des équations simultanées dr df dz du

En effet, on a

__ fflO ^ dO df ^ dOdz ^ dO du

\dx ' df dx dz dx du dx j '

doncj^, z et zf étant des fonctions àex telles, que l'on ait

dy Q dz R du V

on aura

dx P ' dx "^ P ' dx P '

dxid^ ^dO dQ dO

P \ dx df dz du

mais la quantité renfermée entre parenthèses est nulle par hypothèse, donc

d0=:O, ou 0:=C,

Il suit de là que si Ton trouve trois fonctions a, o, yqui

iS-l COURS d'analyse.

substituées à 0 satisfassent identiquement à l'équation (i),

les équations

(3) a=:c, 6 = c', y = c" seront les intégrales des équations (2).

631 . Des intégrales (3) peuvent se déduire une infinité d'autres intégrales, car x^y, Zy w variant de manière que les fonctions a, ê, y conservent une valeur constante, toute fonction de la forme cp (a, ê, y) conservera aussi une valeur constante.

On peut d'ailleurs vérifier directement que l'équation

est une intégrale des équations (2). En effet, on a

d (u dl~

' da. dx d^ dx dy dx

d fa

d<i^ dx r/cp <-/§ <:/cp dy dot. dj drj dj dy dy

d(^ di~

<5?(p drx d's r/S d's dy dx dz r/S dz dy dz

d(^ Tu~

ddf dx do dt> d(f dy dx du dQ du dy du

Si Ton multiplie ces équations respectivement par P, Q, R, V, et qu'on les ajoute, le second membre sera nul en vertu des équations (6) du n° 629. On aura donc

c'est-à-dire que cp mis à lu place de ô satisfait à l'équation (i). Donc cp = c est bien une intégrale des équations proposées.

632. On peut même démontrer que toute fonction 6 de x,y^ z, u qui satisfait à r équation

^dB ^dQ ^d9 ,. ^9 l) p +Q -i-R 4-V — =0

^ ' dx df dz du

QUARANTE-NEUVIÈME LEÇON. lf)5

doit se réduire à une fonction de a:, ê, y. En effet, soit

(2) B = zn{x,y,z, u); posons

(3) a=r/, (x,j, 3, m), G=:/2(x,jr, z,w), 7 z^/, (x, J, Z, Zi) ;

on peut tirer delà les valeurs àe y^ 2, u en fonction de a, ê, y et x^ en les substituant dans la valeur de 9, on aura

Or, je dis que x ne doit pas entrer explicitement dans cette équation. En effet, en mettant cette valeur de Q dans l'équation (i), on aura

[ dn dx dv: d'o dv: d'y drcX p 1 i L-j .)

\dv. dx do dx d-f r.'.r dx j di: doL dv: d'o dr: «^y

\dx dy ' r/S r/j ' dy dy f d'il dot. dt: d o d-K dy \ \do(. dz c/§ dz d'i dz j

,^ I dv: dy. dix do d-n: dy\

hV \ 1 -] =0.

\ \do(. du d^ du dy du J

Mais les fonctions a, ^, y satisfaisant à l'équation (1), l'équation (5) se réduit à

d'où

'Li —

puisque P ne peut être nul que pour des valeurs particulières des variables. Ainsi, la fonction tt ne contiei.t pas X explicitement, et se réduit à une fonction de c^,,

i66 COURS d'analyse

CINQUANTIEME LEÇON.