CAS DE DEUX ÉQUATIONS, MÉTHODE DE D ALEMLERT
633. Si Fou a deux équations linéaires du premier ordre entre une variable indépendante x et deux fonctions y et z de cette variable, en éliminant, tour à tour,
— et -r-î on obtiendra deux équations de la forme suidjc dx ^
vante :
P, Q, V, P', Q', V, désignant des fonctions de x.
On pourrait appliquer à ces équations le procédé d'élimination exposé plus baut (622), et Ton parviendrait n une équation linéaire du second ordrene contenant qu'une seule fonction inconnue*, mais il est plus avantageux d'employer la métbode suivante, qui a été imaginée par d'Alembert, et perfectionnée par Ampère.
Ajoutons les équations (i) après avoir multiplié la seconde par une indéterminée B : nous aurons
(2) ^ -^ô— +(PH-P'ô)j-l-fQ-VQ'0)3==V-HV'0, dx dx
dy dz .,,,.,,
Si B était une constante, ~ — \- Q -z- serait la donvec oe d.r dx
y -\~Bz'^ posons donc
CrKQUANTliZME LEÇON. 167
il en résulte j'- =::^ f — Oz et
dy Bflz (It d9
dx dx dx dx
L'équation (2) devient alors
(4) ^2l?-f-(P^-P'0)(^-O^)-l-(Q-^Q'O)s = V-f-V'Ô. dx. dx
Comme z n'entre ici qu'à la première puissance, on éliminera cette fonction en égalant son coefficient à zéro, et l'on aura les deux équations
dx
L'équation (5) ne contient que 0 et 0:5 elle détermine donc 0. Mais, quoique du premier ordre, elle n'est pas linéaire, et l'on ne sait pas, en général, l'intégrer. Cc?pendant, si Ton en connaît seulement deux intégrales particulières 01 et 02 •> la question proposée pourra être résolue.
En effet, ces intégrales particulières étant mises à la place de 0 dans l'équation (6) qui est linéaire, on obtiendra deux valeurs correspondantes de f, t^ et t^^ contenant chacune une constante arbitraire. On aura ensuite j'^ et z au moyen des deux équations
Les valeurs de y et de z ainsi obtenues contiendront deux constantes arbitraires, puisque t^ et t^ en contiennent chacun une.
634. Dans le cas où les coefficients P, Q, P', Q' sont constants, on peut supposer 0 constant dans l'équation (5), qui se réduit alors à
Cette équation est du second degré et donne deux racines
lOô COURS D ATsALYSE.
constantes que l'on peut prendre pour Qi et 02? si ces racines sont inégales.
Si les racines de l'équation (7) étaient égales, on n'aurait qu'une valeur de 9. Mais, dans ce cas, l'équation (5), en supposant 9 variable, peut se mettre sous la forme
OU
dO
-hV'dx=r.O,
(& — a)équation dont l'intégrale générale est
Comme on n'a besoin que de deux valeurs particulières de 9, on les choisira de la manière la plus simple en faisant successivement c = o, c =^ 00 , d'où
Les équations (i) peuvent donc toujours être intégrées quand les coefficients P, Q, P', Q' sont constants.
IKTÉGRATION DE TROIS ÉQUATIONS LUSÉAIRFS.
635. La métbode précédente s'applique avec quelques modifications à l'intégration de trois équations linéaires simultanées à quatre variables x^y, z, u. Ces équations peuvent d'abord être mises sous la forme
^ + Pj -h Q2+R« ^ V,
