IX

(I) ( ^ H- P' j ~hq'z-i- R' n -^ y,

^ H- P"7 -f- Q:'z -+- R'^^ = \\ \ dx -^ ^

Ajoutons ces trois équations après avoir multiplié la

C1NQUAKT[ÈME LEÇON. I 69

seconde par 0 et la troisième par X. On a ainsi

(!^ + 6^ + ?.;^ + (P + P'0H-Pn)r

1 clx d.r. dx

Posons

(2) 7 + Qs -f- Xm = /,

d'où

^ dz du dt dQ d\

dx dx dx dx dx dx

L'équation (1) devient

f^ ^^ ^,^ 4 /p ! F9 -I- pn) (f- 6^->«' dx dx dx ^

= V-j-V'9H-Va.

Cette équation ne renferme z q\u qu'au premier degré. En égalant à zéro les coefficients de ces variables, on réduira l'équation (3) aux suivantes :

^ + (P + P'0-f-P"l))i — R— R'9 — R")i=ro,

Les deux premières équations ne contiennent que Beili elles sont du premier ordre, mais non linéaires. On ne sait donc pas les intégrer en général. Néanmoins, si l'on connaît trois intégrales particulières 9,, 02, O3 et trois valeurs correspondantes ?>i, ).2, ^3, on pourra déterminer les intégrales cherchées. En effet, pour un système de valeurs simultanées B^ et ^1, l'équation (6) qui est linéaire et du premier ordre donnera une intégrale correspondante t^ , contenant une constante arbitraire. On aura de même

I yO COURS D ANALYSE.

deux autres valeurs t^ et ^3 correspondant aux deux autres systèmes 6^ et X^, 9^ et Ag. Les trois intégrales seront donc

j- ~h Qi z -+- >, a z= fiy

y H- G3 z -f- >.3 II =: fg.

Les A'aleurs dej^, z^ u qu'on en déduira contiendront chacune trois constantes arbitraires.

636. Dans les cas où les coefficients P, Q, R, P', . • • sont constants, les équations (4) et (5) sont satisfaites par les valeurs constantes de 0 et de X que déterminent les équations

En portant dans la seconde équation la valeur de X tirée de la première, on aura une équation du troisième degré en B, qui fournira, en général, trois valeurs distinctes de celte variable, Gj , Q^^ Ô3. L'équation (8), étant du premier degré en À, fournira trois valeurs correspondantes, A,, Xg, }>3.

L'élimination peut se faire de la manière suivante. En posant

on aura les trois équations

j P — p -4-P'0H-P'O. = 0, (ri) / 0-^(Q'— p)Ô-+ Q'^), = 0,

( R-i-R'ÔH- {Jk"—p)\=zo.

L'élimination de 0 et de X entre ces trois équations donne l'équation finale

— RP'^fp — Q') — QP'(p — R") — QR'P'^— RP'Q''= o.

Soient 1^1, p2 7 /J3 les trois racines de cette équation.

CIISQUAKTIÈME LEÇON

LV'qnalion (6) prenant la forme dt

^ . ptz=zY-\-V'0 +\''\ d.r '

on aura (oll

On déduit de là, en remplaçant successivement p par p^, pi^ ps, trois valeurs de t, désignées par /i, /g, ^g, contenant chacune une constante arbitraire. Le système propose aura donc pour intégrales les trois équations