AUTRE MÉTHODE

G37. On peut suivre dans l'intégration des équations linéaires simultanées la même marche que dans les équations différentielles ordinaires, c'est-à-dire ramener le cas général à celui des équations privées de second membre. INous allons effectuer celle réduction dans le cas où les coefficients des premiers membres sont constants.

Remarquons d'aljord que si l'on connaissait trois sjs lèmcs de fonctions (^'-j, 2,, Wj), (ja, ^25 "2)5 (/s? -^35 ï's) satisfaisant aux équations

/ dr

( ^ + Pj +Qz H-R" =0,

(I) '-^-l-P'j-rQ'z-f R'« = o,

OQ y satisferait encore en posant

Z = C^ Zi -h C2 Z2 -\- C3 Z3 ,

Il = r, li^ + ^2 «2 4- C3 W3 ,

comme on s'en assure par la substitution , et l'on aurait les intégrales générales, puisque ces formules contiennent trois constantes arbitraires Cj, r^, r^.

Cherclions maintenant à résoudre les équations (î) par des valeurs de la forme

(i) r=e-p^, z = y,e-P'', u=:ve-P'',

p, UL^ V désignant des constantes inconnues. La substitution de ces valeurs donnera les équations

( P — p4-Qpi + Rvz=o,

( P'^ + QV4-(R''p)v = o.

L'élimination de //et de v entre ces équations conduit aune équation du troisième degré en p^ la même que l'on a déduite (636), par l'élimination de B et de X, des équalions

(3) QH(Q'p)ô|Q").:=:0,

( RH-R'9 + (P/'-p)>. = 0,

car on arriverait à ce dernier système en ajoutant les équations (2) respectivement multipliées par i, 0 et X, et en déterminante et X de manière c^ue les termes qui contiennent p. et V disparaissent d'eux-mêmes.

Les trois valeurs de p étant désignées pcr pi, p^^ C3, et les valeurs correspondantes de a et de v par p-i, //g, //g, ^lî ^2î ^3î on aura trois solutions particulières d'où l'on déduira la solution générale

(4) { z = c,ii,c-P^''-^ c,ii,c-p^''-h C.ti.e-P^'', Il = c, V, c-P^''-^c^ V2 c~P^''-{- c,v, e-p^"".

"* CIJ<QUA]NTIÈME LEÇON. l'j'6