P7 +Qz -hR« =o
^ - 1- P'^r -\-^'z-\- Wii =. o,.
i dx et telles, que pour x := a on ait
Y=F(a), Zr=:F,(a), U=:F,(a).
Pour trouver des fonctions Y, Z, U qui remplissent ces conditions, il suffira de déterminer les constantes qui entrent dans les intégrales générales du système (2),
(3) ^ z = ^^,(jr, c., c^Ts), ( « = ^i[^i Cii ^2, C3),
de manière que l'on ait
(4) j ï^'l^^) =?i(^J ^i»'^^) ^3), ( F,(a) = <ï)2(a, c,, r^, Cg).
On aura les fonctions cherchées en portant dans les équa-
CIJNQUAKTIÈME LEÇON. l^O
lions (3) les valeurs de Cj, c^, C3 déduites des équations (4).
640. Maintenant je dis que les équations (1) seront satisfaites en posant
En effet, d'après l'iiypolbèse, on aura
et, en substituant dans la première des équations (i),
F {x) -. -— Ja -f P / Y d<y. -f- Q | Z Ja
Jo
Cette équation est identique, car elle revient à
/ ^/Y ^Za ( — - -f- PY -f- QZ -f- RU ) = o,
et la quantité renfermée entre parenthèses est nulle par hypolhèse. On vérifiera de la môme manière que les deux autres équations du système sont satisfaites.
On a donc une solution particulière du système (1) : désignons-la par (/i,^i, z/,). Mais si dans les équations (i) on remplace j-, z, u par j -h /i, 2 -}- z,, a -{- Mj, on obtiendra le système (2). Donc, en ajoutant aux valeurs (5) les intégrales générales (/, Zy u) des équations privées de second membre, on aura intégré complètement le système (i).
REMARQUE SUR LES ÉQUATIONS SIMULTAP^ÉES.
G41. Soient
lyt) COURS d'analyse.
deux équations simultanées du premier ordre, dans lesquelles y' et z' désisfnent — et — • Soient
I z=-^[x. Cl, b),
les intégrales complètes du système (i), a et 6 étant deux constantes arbitraires. Les équations (i) doivent devenir identiques quand on y remplace j et z parles valeurs (2). Donc, si Ton pose
(3) d\iù
da da
du
d^Y df
The''
da dx da
dv
d'z dz'
di"
da dx da
on aura, en différentiant par rapport à a les équations (i
dî dï du dï dî dv
dr dy dx dz dz dx
' ^ dF dFdu dF dF dv
dy dj' dx dz dz' dx
On arriverait encore aux équations (4) en posant
dr dz
~db' ""'Tb
et en différentiant les équations (i) par rapport à b. II suit de là que, si l'on considère u et P" comme des fonctions inconnues, le système (4) admettra les solutions particulières (3) et (5). Donc ses intégrales générales seront (637)
dz dz
da db
A et B désignant deux constantes arbitraires.
CINQUANTIEME LEÇON.
EXERCICES
i . Intégrer les deux équations
„ dy dz
Solution :
iq 56 20 ^ c „
bOLUTION :
dy
Stcum. — Ail., II. 12
