INTÉGRATION DES ÉQUATIONS AUX DIFFÉRENTIELLES PARTIELLES
Équations qui se ramènent aux équations différentielles ordinaires. — Élimination des fonctions arbitraires. — Équations linéaires du premier ordre à deux variables indépendantes. — Cas de trois variables indépendantes.
équatiotvs qli se ramèkekt Aux équations différentielles ordinaires.
642. Le problème qui fait l'objet du calcul inverse des différences, ou des différentielles partielles, consiste à chercher une fonction connaissant une relation entre cette fonction, les variables dont elle dépend et une ou plusieurs dérivées partielles de cette fonction, prises par rapport à ces variables.
643, Nous commencerons par ïe cas particulier trèssimple où les dérivées partielles renfermées dans l'équation ne sont relatives qu'à une seule variable. Il faut alors opérer comme si l'on avait une équation différentielle ordinaire, mais après l'intégration on remplacera les constantes arbitraires par des fonctions arbitraires des autres variables indépendantes. Soit, par exemple,
dx en regardant j^ comme une constante, on a,
et en remplaçant la constante G par une fonction arbitraire de j-,
CINQUAJNTE ET UKIÈME LEÇON. 1 79
On trouvera de môme que l'intégrale de Féquation
du est
X r - — \- au dj
Cj)(x) désignant une fonction arbitraire de x.
644. Ce procédé peut quelquefois s'étendre à des équations où entrent des dérivées partielles relatives à deux variables. Soit, par exemple,
, . d"^ u. du
fi) \- a — zz^xr,
^ ' dxdj ^ dx ^
—, du
Jdu posant — =:/;, on a
dp
équation linéaire du premier ordre qui donne
(2) p =z e-^y (p(.2:) -h X \ye''y dy 9
d'après la dernière formule du n^ 511, où la constante arbitraire C est remplacée par la fonction arbitraire cp (x). Si maintenant on intègre l'équation (2) par rapport à X, on aura
u = <?-"/ I (^ {x) dx -^ - X- e-^y jft''ydf -f- ^ (j),
'Mjk) désignant une fonction arbitraire dej". Comme d'ailleurs
e"y je^rdf = — (^j — I ),
et que f(^(x)dx peut être remplacé par une fonction arbitraire x(^)^ ^^^ aura déQnitivement
iSo couKs d'analyse.
