Si entre l'équation

et sa différentielle

-^.r+-.Zj^o,

on élimine la constante arbitraire c, l'équation résultante

exprimera une propriété commune à toutes les équations que l'on obtient en donnant à c différentes valeurs, et, par suite, une propriété relative à la tangente de loutes les courbes représentées par l'équation (i).

Un théorème analogue a lieu pour les équations où entre une fonction arbitraire de deux fonctions des mêmes variables. Soient, en effet,

deux fonctions déîerminées des variables X.y, z\ établissons entre a et ê une relation arbitraire

Posons

dz dz

et différentions, tour à tour, l'équation (3) par rapport à x, et par rapport à j^^ nous aurons

[ d^ d^ ,, ^ Idx de, \

j <r/6 d^ ( da. da. \

en éliminant la fonction ^' [ol) entre ces deux équations,

CIIN^Qt'AKTE ET L'NIEME LEÇON. l8l

nous obtiendrons une équation de la forme

P, Q, V étant des fonctions de x, j'-, z.

Cette équation exprime une propriété commune à toutes les équations de la forme

et, par conséquent, une propriété commune aux plans tangents de toutes les surfaces que ces équations représentent.