INTÉGRALES EULÉRIENNES DE SECONDE ESPÈCE

460, On donne le nom âHintégrale eulérienne de 5econde espèce à Tintégrale définie

On doit supposer n positif; car sî n était égal au nombre négatif — p^ l'intégrale considérée aurait une valeur infinie. En effet, on a, a étant compris entre G et i>

or, pour a = o, - 1 - est infini : l'intégrale / x~^~^e^'dx "^ e a J^

est donc infinie, et il en est de même, à fortiori^ de l'in- 1 x^f'^e'^dx.

461. L'intégrale F (n 4- i) peut se ramener à F [n). En intégrant par parties, on a

Or, x"e~' s'annule pour a: = o, et aussi pour a; == co . En effet, puisque

TUEIîTE-HUITIÈME LEÇON. l3

on a, quel que soit i, par conséquent

Or, quand on prend i>«. ce qui est évidemment permis, le second membre devient infini pour a: = oo . Donc le produit x"""e* devient aussi infini, et par conséquent son inverse x"e~' devient nul pour a: = oo .

D'après cela, si l'on intègre entre les limites o et oo , on aura

(2) T{n-^-\)=:nT[n).